Archimedes tính rằng nếu lấp đầy cả vũ trụ (theo cách hình dung của người Hy Lạp thế kỷ 3 trước Công nguyên) bằng cát thì cần chưa tới 10⁶³ hạt. Con số tự nó không phải điều quan trọng nhất. Điều quan trọng là để viết được nó, ông phải tự chế ra một hệ gọi tên số lớn, vì chữ số Hy Lạp thời đó chỉ đếm gọn tới một vạn.
Cuốn sách nhỏ gửi một vị vua
Tác phẩm tên là Psammites, thường dịch là Người đếm cát (The Sand Reckoner). Archimedes viết nó ở Syracuse, trên đảo Sicily, và gửi cho Gelon, con trai vua Hieron II. Đây là văn bản ngắn, chỉ vài chục trang trong các bản dịch hiện đại, và là một trong số ít tác phẩm của ông mở đầu bằng lời nói chuyện trực tiếp với người đọc.
Ông nêu lý do viết: có người nghĩ số hạt cát là vô hạn; có người cho rằng tuy không vô hạn nhưng không thể có con số nào đủ lớn để gọi tên nó. Archimedes muốn chứng minh cả hai đều sai. Cát nhiều đến đâu cũng hữu hạn, và có thể gọi tên một số lớn hơn nó.
Cuốn sách còn có một giá trị phụ rất quý cho lịch sử thiên văn. Trong đó Archimedes nhắc tới giả thuyết của Aristarchus xứ Samos rằng Trái Đất quay quanh Mặt Trời. Sách của Aristarchus về chủ đề này đã thất lạc, nên đoạn nhắc tới trong Người đếm cát là một trong những dấu vết rõ nhất còn lại của ý tưởng nhật tâm thời cổ đại, sớm hơn Copernicus khoảng mười tám thế kỷ.
Vấn đề: tiếng Hy Lạp thiếu tên cho số lớn
Người Hy Lạp viết số bằng chữ cái. Đơn vị lớn nhất có tên riêng là myrias, tức 10.000, giống chữ "vạn" của ta. Ghép lại được "một vạn vạn", tức 100.000.000 = 10⁸. Quá mức đó thì không có từ để nói.
Archimedes lấy 10⁸ làm bậc thang và dựng lên từng tầng:
- Số bậc một: từ 1 tới 10⁸.
- Số bậc hai: lấy 10⁸ làm đơn vị mới, đếm tiếp tới 10⁸ đơn vị như thế, tức tới 10¹⁶.
- Số bậc ba: tới 10²⁴. Cứ thế, mỗi bậc nhân thêm 10⁸.
- Đi hết 10⁸ bậc thì tới (10⁸)^(10⁸) = 10 mũ 800.000.000. Ông gọi toàn bộ quãng này là chu kỳ thứ nhất.
- Rồi lấy số cuối chu kỳ thứ nhất làm đơn vị cho chu kỳ thứ hai, và đi tiếp tới chu kỳ thứ 10⁸.
Số cuối cùng của hệ này là 10 mũ 80.000.000.000.000.000, tức 10 mũ (8 × 10¹⁶). Viết số đó ra dạng thập phân cần 80 triệu tỷ chữ số. Để cát vào cho đủ, Archimedes chỉ cần tới bậc thứ tám của chu kỳ thứ nhất. Phần còn lại của hệ là ông cho thấy: muốn đi xa bao nhiêu cũng được.
Điều đáng phục là Archimedes đã nắm ý của luỹ thừa trước khi có ký hiệu luỹ thừa. Ông còn nêu một tính chất mà ngày nay học sinh lớp 6 dùng hằng ngày: nhân hai số trong dãy 1, 10, 100, 1000… thì vị trí của tích bằng tổng vị trí hai thừa số (trừ đi một vì ông đếm từ 1). Đó chính là quy tắc 10ᵃ × 10ᵇ = 10ᵃ⁺ᵇ.
Archimedes đo vũ trụ thế nào
Muốn biết bao nhiêu hạt cát lấp đầy vũ trụ, phải biết vũ trụ to cỡ nào và hạt cát nhỏ cỡ nào. Archimedes không có số đo chính xác, nên ông làm theo cách nhà khoa học vẫn làm: chọn những giả định rộng tay, cố tình lấy số lớn hơn thực tế, để kết quả chắc chắn là cận trên.
| Giả định của Archimedes | Ý nghĩa | So với hiểu biết hôm nay |
|---|---|---|
| Một hạt anh túc chứa không quá 10.000 hạt cát | Hạt "cát" của ông rất nhỏ, cỡ hạt bụi | Cố ý chọn hạt nhỏ để ra số lớn |
| Đường kính hạt anh túc không nhỏ hơn 1/40 bề ngang ngón tay | Khoảng nửa milimét | Khá sát với hạt anh túc thật |
| Chu vi Trái Đất không quá 3.000.000 stadion | Gấp khoảng 10 lần các ước tính đương thời | Thực tế khoảng 40.000 km, cỡ 220.000 stadion |
| Đường kính Mặt Trời không quá 30 lần đường kính Mặt Trăng | Lớn hơn mức Aristarchus ước | Thực tế khoảng 400 lần |
| Đường kính "vũ trụ" (quả cầu tới Mặt Trời) dưới 10¹⁰ stadion | Khoảng 2 tỷ km | Đường kính quỹ đạo Trái Đất thật khoảng 300 triệu km |
Một stadion dài khoảng 160 tới 190 mét tuỳ vùng. Với những giả định trên, Archimedes kết luận quả cầu "vũ trụ" thông thường chứa chưa tới 10⁵¹ hạt cát. Sau đó ông xét vũ trụ của Aristarchus: nếu Trái Đất quay quanh Mặt Trời mà ta không thấy các ngôi sao xê dịch, thì quả cầu sao phải ở cực xa. Ông giả định nó lớn hơn vũ trụ thường theo đúng tỉ lệ vũ trụ thường lớn hơn Trái Đất. Quả cầu đó có đường kính dưới 10¹⁴ stadion, cỡ hai năm ánh sáng, và chứa chưa tới 10⁶³ hạt cát.
Có một chỗ tinh tế ở đây. Archimedes sai một bậc lớn về cỡ Mặt Trời, nhưng ông sai theo chiều an toàn ở hầu hết các chỗ khác, và điều ông muốn chứng minh là có thể gọi tên một số lớn hơn số hạt cát, chứ không phải đếm chính xác. Với mục đích đó, cận trên dù rộng vẫn đủ.
Nếu làm lại phép tính bằng số đo hôm nay
Thử dùng vũ trụ quan sát được thật. Bán kính của nó khoảng 46,5 tỷ năm ánh sáng, thể tích khoảng 3,6 × 10⁸⁰ mét khối. Một hạt cát mịn có thể tích cỡ 1 milimét khối, tức 10⁻⁹ mét khối.
- Số hạt cát lấp đầy vũ trụ quan sát được: 3,6 × 10⁸⁰ ÷ 10⁻⁹ ≈ 3,6 × 10⁸⁹, tức cỡ 10⁸⁹ tới 10⁹⁰.
- Nếu dùng hạt nhỏ như hạt bụi của Archimedes thì con số còn tăng thêm vài bậc.
Vậy là thêm khoảng 26 chữ số không so với kết quả của ông. Nhưng trong hệ gọi tên của Archimedes, 10⁹⁰ vẫn nằm gọn trong bậc thứ mười hai của chu kỳ thứ nhất. Hệ thống của ông chịu được cả vũ trụ thật mà chẳng cần sửa gì. Đây là điểm làm Người đếm cát sống lâu: đáp số thì cũ, phương pháp thì còn nguyên giá trị.
Tự tính: một khối cát xây nhà có bao nhiêu hạt
Bạn có thể làm lại tinh thần của Archimedes với một xe cát ngoài công trình.
- Cát vàng xây dựng có hạt đường kính khoảng 0,5 milimét. Thể tích một hạt hình cầu: 4/3 × 3,14 × (0,25)³ ≈ 0,065 milimét khối.
- Một mét khối bằng 10⁹ milimét khối. Cát đổ đống không lấp kín, chỉ khoảng 60% là hạt, còn lại là khe rỗng. Vậy phần hạt chiếm 0,6 × 10⁹ milimét khối.
- Số hạt: 0,6 × 10⁹ ÷ 0,065 ≈ 9 × 10⁹, tức khoảng 9 tỷ hạt trong một khối cát.
Một xe tải chở 10 khối là gần 10¹¹ hạt. Làm tròn cho dễ nhớ: một khối cát cỡ mười tỷ hạt, nhiều hơn dân số thế giới. Muốn tới 10⁶³ hạt của Archimedes, bạn cần khoảng 10⁵³ khối cát như thế. Phép thử này cho thấy điều ông muốn nói: số rất lớn không đáng sợ nếu ta chia bài toán thành những bước nhân đơn giản.
Archimedes và lịch sử ký hiệu số lớn
Hệ "bậc" và "chu kỳ" của Archimedes không được dùng rộng rãi sau ông. Toán học Hy Lạp tiếp tục viết số bằng chữ cái, và phải mười mấy thế kỷ sau, nhờ hệ ghi số theo vị trí cùng chữ số 0 từ Ấn Độ truyền qua thế giới Hồi giáo tới châu Âu, việc viết số lớn mới trở nên dễ dàng. Ký hiệu số mũ viết nhỏ phía trên, kiểu a³, phổ biến từ thế kỷ 17 với René Descartes.
Dù vậy, ý tưởng cốt lõi của Người đếm cát đi thẳng tới cách ta viết số lớn hôm nay. Ký hiệu khoa học kiểu 3,6 × 10⁸⁰ chính là "lấy một bậc thang cố định rồi đếm xem đi lên bao nhiêu nấc". Archimedes chọn nấc 10⁸; ta chọn nấc 10. Còn việc chia số lớn thành bậc theo luỹ thừa của 10 để ước lượng nhanh là chủ đề riêng của bậc độ lớn, ở đây chỉ nhắc làm mốc.
Góc nhìn hôm nay: đọc gì để hiểu thêm
Bản dịch tiếng Anh kinh điển của The Sand Reckoner nằm trong tuyển tập The Works of Archimedes do Thomas L. Heath biên dịch (1897), đã hết bản quyền và dễ tìm trong các thư viện số. Đọc trực tiếp sẽ thấy giọng văn của Archimedes rất mạch lạc: mỗi giả định được nêu rõ, mỗi bước nhân được giải thích.
Muốn đi tiếp, có thể tìm đọc về Palimpsest Archimedes, bản chép tay thế kỷ 10 bị cạo đi để viết sách kinh, được đọc lại bằng kỹ thuật chụp ảnh đa phổ từ năm 1998 tới 2008. Nó chứa văn bản duy nhất còn lại của tác phẩm Phương pháp, nơi Archimedes kể cách ông "cân" hình học để tìm diện tích và thể tích.
Bài học mang về: khi gặp một con số tưởng như "vô kể", hãy hỏi lại như Archimedes. Nó lớn cỡ bao nhiêu nấc? Mỗi nấc lấy giả định nào? Giả định đó rộng hay chặt? Hầu hết những thứ người ta gọi là "đếm không xuể" đều đếm được, chỉ là chưa ai chịu ngồi nhân.
Câu hỏi thường gặp
Archimedes tính ra vũ trụ có bao nhiêu hạt cát?
Ông kết luận quả cầu tới Mặt Trời chứa chưa tới 10⁵¹ hạt cát, còn quả cầu sao trong mô hình nhật tâm của Aristarchus chứa chưa tới 10⁶³ hạt. Đây là cận trên tính bằng các giả định cố ý rộng tay, không phải phép đếm chính xác.
Người đếm cát (The Sand Reckoner) là sách gì?
Đó là tác phẩm ngắn của Archimedes viết ở Syracuse vào thế kỷ 3 trước Công nguyên, gửi cho Gelon, con vua Hieron II. Mục đích là chứng minh số hạt cát không vô hạn và có thể gọi tên một số lớn hơn nó, bằng một hệ gọi tên số mới do ông tự dựng.
Vì sao Archimedes phải tự chế cách gọi số lớn?
Chữ số Hy Lạp thời đó viết bằng chữ cái và đơn vị lớn nhất có tên là myrias, tức 10.000. Ghép lại chỉ được tới một vạn vạn, tức 10⁸. Archimedes lấy 10⁸ làm nấc và xếp các bậc, chu kỳ chồng lên nhau để đi tới 10 mũ (8 × 10¹⁶).
Tính lại bằng số đo hiện đại thì vũ trụ chứa bao nhiêu hạt cát?
Vũ trụ quan sát được có thể tích khoảng 3,6 × 10⁸⁰ mét khối. Với hạt cát cỡ 1 milimét khối, cần khoảng 10⁸⁹ tới 10⁹⁰ hạt để lấp đầy, nhiều hơn kết quả của Archimedes khoảng 26 bậc nhưng vẫn nằm gọn trong hệ gọi tên của ông.
Người đếm cát có liên quan gì tới thuyết nhật tâm?
Trong sách, Archimedes nhắc lại giả thuyết của Aristarchus xứ Samos rằng Trái Đất quay quanh Mặt Trời. Sách gốc của Aristarchus đã mất, nên đoạn này là một trong những bằng chứng quý nhất về ý tưởng nhật tâm thời cổ đại.
