Cấp số cộng, cấp số nhân, tổng vô hạn, nghịch lý Zeno, chuỗi điều hoà: những dãy số tăng dần và điều bất ngờ khi cộng mãi.
Dãy số & cấp số
Cấp số cộng là dãy số mỗi bước cộng thêm một công sai d không đổi; số hạng thứ n là u1 + (n − 1)d, tổng n số hạng đầu bằng n(u1 + un)/2. Kèm ví dụ đời thường.
Dãy số & cấp số
Cấp số nhân là dãy mỗi bước nhân với công bội q; số hạng thứ n là u1 × q^(n − 1), tổng n số hạng đầu là u1(1 − q^n)/(1 − q). Kèm ví dụ gấp giấy và giải loại trự
Dãy số & cấp số
Khi công bội có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1, cộng vô số số hạng vẫn ra số hữu hạn S = u1/(1 − q). Minh hoạ bằng tờ giấy cắt đôi, quả bóng nảy, Archimedes, bông tuyế
Dãy số & cấp số
0,999… với vô hạn chữ số 9 bằng đúng 1, không phải xấp xỉ. Ba cách chứng minh, lý do trực giác phản đối, và quy tắc đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số
Dãy số & cấp số
Chuỗi điều hoà có tổng vô hạn dù số hạng nhỏ dần về 0; phải cộng 12.367 số hạng mới vượt 10. Kèm chứng minh Oresme, hằng số Euler – Mascheroni và bài toán sưu t
Dãy số & cấp số
Số tam giác 1, 3, 6, 10… bằng n(n + 1)/2, số chính phương bằng n × n. Hai số tam giác liên tiếp ghép thành một số chính phương; kèm định lý Eureka của Gauss năm
Dãy số & cấp số
Tổng bình phương từ 1 đến n bằng n(n + 1)(2n + 1)/6, tổng lập phương bằng (n(n + 1)/2)^2. Dùng để đếm chồng cam hình chóp, số hình vuông và hình chữ nhật trên b
Dãy số & cấp số
Theo phép cộng thường, 1 + 2 + 3 + … phân kỳ, không bằng −1/12. Đó là giá trị hàm zeta Riemann tại −1; vì sao chứng minh lan truyền hỏng và vật lý dùng nó ra sa
Dãy số & cấp số
Bài toán Basel hỏi tổng nghịch đảo các số chính phương; năm 1734 Euler tìm ra π^2/6, khoảng 1,6449. Kèm lập luận qua hàm sin, tích Euler và xác suất nguyên tố c
Dãy số & cấp số
Khổ giấy A0 đến A6, tần số nốt nhạc, số f máy ảnh, điện trở E12 và dãy Renard đều là cấp số nhân: mỗi bậc hơn bậc trước cùng một tỉ lệ. Vì sao người ta chọn chi
