Bài toán Basel: vì sao 1 + 1/4 + 1/9 + … bằng π bình phương chia 6

Bài toán Basel hỏi tổng vô hạn 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … (nghịch đảo các số chính phương) bằng bao nhiêu. Năm 1734, Leonhard Euler tìm ra đáp số: π bình phương chia 6, khoảng 1,644934. Kết quả gây sửng sốt vì số π, vốn gắn với đường tròn, lại xuất hiện trong một tổng chỉ có số tự nhiên, và bài toán đã làm khó các nhà toán học hàng đầu châu Âu gần một thế kỷ.

Bài toán ra đời thế nào và vì sao tên là Basel

Năm 1650, nhà toán học Ý Pietro Mengoli đặt câu hỏi về tổng này. Biết nó hội tụ thì không khó, nhưng giá trị chính xác là gì thì không ai trả lời được. Năm 1689, Jakob Bernoulli ở thành phố Basel (Thuỵ Sĩ) công bố một loạt kết quả về chuỗi, thừa nhận không giải được bài này và kêu gọi ai làm được thì báo cho ông. Em trai ông là Johann Bernoulli, cũng là một trong những nhà toán học giỏi nhất thời đó, cũng chịu.

Lời giải cuối cùng đến từ Leonhard Euler, sinh năm 1707 tại chính Basel và là học trò của Johann Bernoulli. Bài toán mang tên quê hương của cả nhà Bernoulli lẫn người giải nó. Euler tìm ra đáp số năm 1734, khi đang làm việc ở Viện Hàn lâm St. Petersburg, và trình bày trước Viện năm 1735.

Tổng này hội tụ: kẹp bằng một chuỗi dễ cộng

Trước khi tìm giá trị, hãy chắc rằng tổng hữu hạn. Với mọi n từ 2 trở đi:

1/(n × n) < 1/((n − 1) × n) = 1/(n − 1) − 1/n

Cộng vế phải từ n = 2 trở đi: (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + … Mọi số hạng ở giữa triệt tiêu, tổng bằng 1. Vậy 1/4 + 1/9 + 1/16 + … nhỏ hơn 1, và cả chuỗi Basel nhỏ hơn 2.

So với chuỗi điều hoà 1 + 1/2 + 1/3 + … (phân kỳ), chỉ cần bình phương mẫu số là tổng trở nên hữu hạn. Ranh giới nằm đúng ở số mũ 1: tổng 1/n^s hội tụ khi s lớn hơn 1 và phân kỳ khi s nhỏ hơn hoặc bằng 1.

Cộng tay thì chậm đến mức nào

Chuỗi hội tụ nhưng rất chậm. Sai số sau khi cộng n số hạng xấp xỉ 1/n:

Muốn đúng 6 chữ số thập phân bằng cách cộng thẳng, phải cộng khoảng một triệu số hạng. Thế kỷ 18 không có máy tính, nên đây là lý do các nhà toán học không thể "đoán" đáp số từ giá trị số. Euler vượt qua bằng các kỹ thuật tăng tốc hội tụ (nay gọi là công thức Euler – Maclaurin), tính được tổng chính xác tới nhiều chữ số thập phân mà không phải cộng hàng triệu số hạng. Có giá trị số chính xác trong tay, ông mới đi tìm biểu thức đóng.

Lập luận của Euler: coi hàm sin như một đa thức vô hạn

Ý tưởng của Euler táo bạo đến mức thời ấy nhiều người lo ngại về tính chặt chẽ.

1. Một đa thức có các nghiệm a, b, c và giá trị 1 tại 0 thì viết được thành tích (1 − x/a)(1 − x/b)(1 − x/c).
2. Hàm sin(x)/x có giá trị 1 tại x = 0, và các nghiệm là ±π, ±2π, ±3π… Euler mạnh dạn viết nó thành tích vô hạn: (1 − x^2/π^2)(1 − x^2/(4π^2))(1 − x^2/(9π^2))…
3. Mặt khác, khai triển sin(x)/x thành chuỗi luỹ thừa cho 1 − x^2/6 + x^4/120 − …
4. So hệ số của x^2 ở hai cách viết: bên tích vô hạn là −(1/π^2)(1 + 1/4 + 1/9 + …), bên chuỗi là −1/6. Suy ra 1 + 1/4 + 1/9 + … = π^2/6.

Bước 2 là chỗ hở: một hàm có vô số nghiệm không chắc đã phân tích được thành tích như đa thức. Euler biết điều đó và kiểm tra kết quả bằng giá trị số đã tính trước, khớp đến mọi chữ số. Năm 1741 ông đưa ra một chứng minh khác chặt chẽ hơn. Việc phân tích hàm thành tích vô hạn chỉ được đặt trên nền vững chắc vào thế kỷ 19, với công trình của Karl Weierstrass.

Không chỉ bình phương: các giá trị chẵn đều có π

Cùng phương pháp đó, Euler tính được tổng nghịch đảo của luỹ thừa bậc 4, bậc 6 và mọi bậc chẵn:

Các hệ số 6, 90, 945… gắn với số Bernoulli, đúng dãy số mà Jakob Bernoulli tìm ra khi tính tổng luỹ thừa của số tự nhiên. Còn tổng với số mũ lẻ thì đến nay vẫn là bí ẩn. Năm 1978, Roger Apéry chứng minh tổng với số mũ 3 (khoảng 1,202057, nay gọi là hằng số Apéry) là số vô tỉ. Nó có liên hệ đơn giản với π hay không, chưa ai biết.

Nhìn từ hàm zeta Riemann, chuỗi Basel chính là ζ(2): giá trị của hàm zeta tại s = 2. Hàm này về sau trở thành công cụ trung tâm để nghiên cứu số nguyên tố.

Vì sao π lại xuất hiện, và chuyện số nguyên tố

Không có đường tròn nào trong 1 + 1/4 + 1/9 + …, vậy π từ đâu ra? Câu trả lời ngắn: π vào qua hàm sin, mà các nghiệm của hàm sin cách đều nhau đúng π. Có nhiều chứng minh khác về sau, dùng tích phân, chuỗi Fourier hay hình học, và mỗi cách lại để lộ một con đường khác dẫn tới đường tròn.

Năm 1737, Euler còn phát hiện tổng này viết được thành tích chạy trên các số nguyên tố:

1 + 1/4 + 1/9 + … = [1/(1 − 1/4)] × [1/(1 − 1/9)] × [1/(1 − 1/25)] × [1/(1 − 1/49)] × …

trong đó các số 4, 9, 25, 49… là bình phương của các số nguyên tố 2, 3, 5, 7… Đây là tích Euler, cầu nối đầu tiên giữa giải tích và lý thuyết số nguyên tố.

Xác suất hai số nguyên tố cùng nhau

Từ tích Euler suy ra một kết quả rất đời thường: chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương, xác suất chúng nguyên tố cùng nhau (ước chung lớn nhất bằng 1) là 6/π^2, khoảng 60,8%. Lý do nôm na: hai số không cùng chia hết cho 2 với xác suất 1 − 1/4, không cùng chia hết cho 3 với xác suất 1 − 1/9, và cứ thế với mọi số nguyên tố. Nhân tất cả lại được nghịch đảo của tổng Basel. Kết quả này đã được biết từ thế kỷ 19.

Góc nhìn hôm nay: ước lượng π bằng biển số xe

Tổng Basel cho một cách ước lượng π vui mà chính xác về nguyên tắc:

1. Lấy hai số ngẫu nhiên, chẳng hạn hai chữ số cuối của biển số hai xe máy đi ngang qua, hoặc dùng hàm RANDBETWEEN trong bảng tính.
2. Kiểm tra hai số có ước chung lớn hơn 1 không (bỏ qua cặp có số 0).
3. Làm khoảng 100 cặp, đếm tỉ lệ p các cặp nguyên tố cùng nhau. Khi đó π xấp xỉ căn bậc hai của 6/p.

Với 100 cặp, kết quả thường lệch vài phần trăm; với bảng tính 10.000 cặp sẽ sát hơn nhiều. Đây là một trong những cách hiếm hoi để "đo" π mà không cần vẽ bất kỳ đường tròn nào.

Ai muốn đọc thêm có thể tìm cuốn "Euler: The Master of Us All" của William Dunham (1999), có một chương kể chi tiết lời giải bài toán Basel, hoặc cuốn "Gamma" của Julian Havil với phần về hàm zeta.