Cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số thứ hai, bằng số liền trước nhân với một số không đổi gọi là công bội, ký hiệu q. Số hạng thứ n tính bằng un = u1 × q^(n − 1), và tổng n số hạng đầu là Sn = u1(1 − q^n)/(1 − q) khi q khác 1. Khác cấp số cộng tăng đều, cấp số nhân với công bội lớn hơn 1 tăng mỗi lúc một nhanh, còn với công bội nằm giữa 0 và 1 thì nhỏ dần về 0.
Nhận ra cấp số nhân: thương không đổi
Với cấp số cộng ta lấy số sau trừ số trước. Với cấp số nhân ta lấy số sau chia số trước. Dãy 3, 6, 12, 24, 48 cho thương luôn bằng 2, nên công bội q = 2. Dãy 81, 27, 9, 3, 1 cho thương 1/3, nên q = 1/3.
- q lớn hơn 1 (số hạng dương): dãy tăng, càng về sau càng tăng mạnh. Ví dụ 1, 3, 9, 27, 81.
- q nằm giữa 0 và 1: dãy giảm dần về 0 nhưng không bao giờ chạm 0. Ví dụ 64, 32, 16, 8, 4.
- q âm: dấu đổi liên tục. Ví dụ 1, −2, 4, −8, 16 (q = −2).
- q = 1: dãy hằng 5, 5, 5…; vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
Thường người ta yêu cầu số hạng đầu khác 0, vì dãy 0, 0, 0 cho công bội bất kỳ, không có ý nghĩa.
Công thức số hạng thứ n
Từ u1 đến un có n − 1 bước, mỗi bước nhân thêm q, nên:
un = u1 × q^(n − 1) (q^(n − 1) đọc là "q luỹ thừa n trừ 1")
Ví dụ dãy 3, 6, 12…: số hạng thứ 10 là 3 × 2^9 = 3 × 512 = 1.536. Số hạng thứ 20 là 3 × 2^19 = 1.572.864. Mười bước sau, con số lớn gấp khoảng một nghìn lần, vì 2^10 = 1.024. Đây là mẹo nhẩm hữu ích: nhân đôi 10 lần thì xấp xỉ gấp 1.000.
Tính chất số giữa: trung bình nhân
Trong cấp số nhân số dương, mỗi số hạng (trừ số đầu, số cuối) bằng trung bình nhân của hai số kề nó: uk × uk = uk−1 × uk+1. Với 4, 12, 36 ta có 12 × 12 = 144 = 4 × 36. Ba số dương a, b, c lập cấp số nhân khi và chỉ khi b bình phương bằng a × c. Cặp tính chất "trung bình cộng – trung bình nhân" là cách nhớ gọn cho cặp "cấp số cộng – cấp số nhân".
Tổng n số hạng đầu và mẹo trừ đi chính mình
Gọi S = u1 + u1q + u1q^2 + … + u1q^(n − 1). Nhân cả hai vế với q:
qS = u1q + u1q^2 + … + u1q^(n − 1) + u1q^n.
Hai dòng trùng nhau gần hết, chỉ khác số đầu của dòng trên và số cuối của dòng dưới. Lấy dòng trên trừ dòng dưới: S − qS = u1 − u1q^n. Suy ra:
Sn = u1(1 − q^n)/(1 − q), với q khác 1
Mẹo "dịch đi một bước rồi trừ" này có từ rất lâu. Trong bộ Cơ sở (Elements) của Euclid, khoảng năm 300 TCN, quyển IX mệnh đề 35 đã nêu cách tính tổng một cấp số nhân, tuy diễn đạt bằng tỉ lệ đoạn thẳng chứ không bằng ký hiệu đại số như ngày nay.
Ví dụ: một giải đấu loại trực tiếp có bao nhiêu trận
64 đội đá loại trực tiếp: vòng đầu 32 trận, rồi 16, 8, 4, 2, 1. Tổng là 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63. Công thức cho 1 × (2^6 − 1)/(2 − 1) = 63. Có một lối nghĩ còn nhanh hơn: mỗi trận loại đúng một đội, cần loại 63 đội để còn một nhà vô địch, nên có 63 trận. Hai cách tính khác nhau ra cùng một số là dấu hiệu ta đã hiểu đúng.
Từ đó có đẳng thức đẹp: 1 + 2 + 4 + … + 2^(n − 1) = 2^n − 1. Cộng tất cả các luỹ thừa của 2 đứng trước một luỹ thừa thì luôn thiếu đúng 1 so với luỹ thừa ấy. Đó cũng là lý do một byte 8 bit biểu diễn được số lớn nhất là 255 = 2^8 − 1.
Bài toán cổ nhất về cấp số nhân: bảy ngôi nhà Ai Cập
Cuộn giấy cói Rhind, do viên ghi chép Ahmes chép lại khoảng năm 1550 TCN và nay nằm ở Bảo tàng Anh, có bài số 79 liệt kê: 7 ngôi nhà, 49 con mèo, 343 con chuột, 2.401 bông lúa mì spelt, 16.807 đơn vị hekat. Đó là các luỹ thừa của 7, và cuộn giấy ghi tổng 19.607. Ta kiểm tra bằng công thức: 7 × (7^5 − 1)/(7 − 1) = 7 × 16.806/6 = 19.607. Khớp từng đơn vị.
Người ta thường so bài này với câu đố dân gian Anh "Trên đường tới St Ives gặp một người có bảy bà vợ…", cũng dựng trên luỹ thừa của 7. Liệu hai câu đố có cùng gốc không thì không có bằng chứng; nhiều khả năng đây chỉ là hai nền văn hoá cùng thấy con số 7 nhân lên rất nhanh là thú vị.
Gấp tờ giấy: cấp số nhân cầm được trong tay
Một tờ giấy in thông thường dày khoảng 0,1 mm. Mỗi lần gấp đôi, độ dày nhân 2. Ta có cấp số nhân u1 = 0,1 mm, q = 2.
| Số lần gấp | Số lớp giấy | Độ dày (khoảng) | So với |
|---|---|---|---|
| 3 | 8 | 0,8 mm | tấm thẻ nhựa |
| 7 | 128 | 1,3 cm | quyển vở dày |
| 10 | 1.024 | 10 cm | bàn tay |
| 20 | khoảng 1 triệu | khoảng 105 m | toà nhà 30 tầng |
| 30 | khoảng 1,07 tỉ | khoảng 107 km | vượt qua tầng bình lưu |
| 42 | khoảng 4,4 nghìn tỉ | khoảng 440.000 km | xa hơn khoảng cách Trái Đất – Mặt Trăng (khoảng 384.400 km) |
Tất nhiên không ai gấp được 42 lần. Gấp bằng tay một tờ A4 thường dừng ở 6 hoặc 7 lần, vì giấy dày lên nhanh trong khi mặt giấy co lại còn một nửa sau mỗi lần. Năm 2002, Britney Gallivan, khi ấy là học sinh trung học ở California, tính ra công thức cho độ dài giấy cần thiết và gấp thành công một dải giấy rất dài 12 lần. Công thức của cô cho thấy, khi gấp dải giấy theo một chiều, độ dài cần có gần như nhân 4 sau mỗi lần gấp thêm chứ không chỉ nhân 2, vì phần giấy uốn cong ở mép mỗi lớp cũng ăn dần vào chiều dài. Độ dày là cấp số nhân công bội 2, còn cái giá phải trả là cấp số nhân công bội gần 4.
Khi công bội nhỏ hơn 1: dãy nhỏ dần
Cấp số nhân không chỉ là chuyện bùng nổ. Pha loãng là ví dụ chiều ngược quen thuộc trong phòng thí nghiệm: lấy 1 phần dung dịch, thêm 9 phần nước, ta được nồng độ còn 1/10. Lặp lại 6 lần, nồng độ còn 1/1.000.000. Các bậc nồng độ 1, 1/10, 1/100… là cấp số nhân công bội 1/10.
Ánh sáng đi qua nhiều lớp kính lọc giống nhau, mỗi lớp cho qua một tỉ lệ cố định, cũng yếu đi theo cấp số nhân. Khi cộng mãi một cấp số nhân có công bội nằm giữa −1 và 1, tổng không phình ra vô hạn mà tiến về một số hữu hạn. Đó là chủ đề của tổng cấp số nhân lùi vô hạn, một bài riêng trong danh mục này.
Cấp số nhân và số hoàn hảo của Euclid
Một số được gọi là hoàn hảo khi nó bằng tổng các ước thực sự của nó (các ước nhỏ hơn chính nó). 6 = 1 + 2 + 3 và 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 là hai ví dụ nhỏ nhất. Euclid, ngay sau mệnh đề về tổng cấp số nhân, chứng minh ở mệnh đề IX.36: nếu 1 + 2 + 4 + … + 2^(n − 1) là số nguyên tố, thì tổng ấy nhân với số hạng cuối 2^(n − 1) là một số hoàn hảo.
- 1 + 2 = 3 là số nguyên tố, 3 × 2 = 6.
- 1 + 2 + 4 = 7 là số nguyên tố, 7 × 4 = 28.
- 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 là số nguyên tố, 31 × 16 = 496.
Khoảng hai nghìn năm sau, Leonhard Euler chứng minh mọi số hoàn hảo chẵn đều có dạng này. Có số hoàn hảo lẻ nào không thì đến nay vẫn chưa ai biết.
Góc nhìn hôm nay: đọc đúng chữ "cấp số nhân"
Báo chí hay viết "tăng theo cấp số nhân" để chỉ một thứ tăng rất nhanh. Về mặt toán, chữ này có nghĩa chặt hơn: sau mỗi khoảng thời gian bằng nhau, đại lượng nhân với cùng một hệ số. Một thứ tăng 5 đơn vị mỗi ngày, dù nhanh đến đâu, vẫn là cấp số cộng. Một thứ tăng 1% mỗi ngày, dù chậm lúc đầu, lại là cấp số nhân.
Bài tập nhỏ: lấy một tờ giấy, gấp đôi liên tục cho đến khi không gấp nổi nữa, đếm số lần và số lớp, rồi so với bảng trên. Sau đó thử với tờ giấy báo lớn hơn. Cảm giác tay bất lực trước lần gấp thứ bảy là cách nhớ cấp số nhân lâu nhất.
Đọc thêm: chương cấp số nhân trong Toán 11; bản dịch tiếng Anh các quyển số học (VII–IX) của bộ Elements, nơi có mệnh đề IX.35 và IX.36, được đăng tự do trên mạng qua nhiều dự án của các trường đại học.
Câu hỏi thường gặp
Cấp số nhân là gì?
Cấp số nhân là dãy số trong đó mỗi số hạng, kể từ số thứ hai, bằng số liền trước nhân với một số không đổi gọi là công bội q. Ví dụ 3, 6, 12, 24 có công bội 2. Dấu hiệu nhận biết là thương của số sau chia số trước luôn không đổi.
Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân là gì?
Với công bội q khác 1, tổng n số hạng đầu là Sn = u1(1 − q^n)/(1 − q). Công thức có được bằng cách nhân tổng với q rồi trừ cho chính nó, hầu hết số hạng triệt tiêu. Nếu q = 1 thì tổng đơn giản là n × u1.
Vì sao gấp tờ giấy 42 lần lại dày tới Mặt Trăng?
Mỗi lần gấp độ dày nhân đôi, nên sau 42 lần độ dày là 0,1 mm nhân 2^42, khoảng 440.000 km. Con số này lớn hơn khoảng cách trung bình Trái Đất – Mặt Trăng, khoảng 384.400 km. Đây chỉ là phép tính, trên thực tế không thể gấp quá khoảng 12 lần ngay cả với dải giấy rất dài.
Tăng theo cấp số nhân nghĩa là gì?
Nghĩa là sau mỗi khoảng thời gian bằng nhau, đại lượng nhân với cùng một hệ số, ví dụ gấp đôi mỗi ngày hay tăng 3% mỗi năm. Kiểu tăng này lúc đầu có thể chậm nhưng về sau vượt xa mọi kiểu tăng đều. Tăng thêm một lượng cố định mỗi ngày thì là cấp số cộng, không phải cấp số nhân.
Công bội của cấp số nhân có thể âm không?
Có. Khi công bội âm, các số hạng đổi dấu xen kẽ, ví dụ 1, −2, 4, −8, 16 với q = −2. Độ lớn của các số hạng vẫn tăng hoặc giảm theo trị tuyệt đối của q.
