Tổng 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … cộng mãi không dừng vẫn bằng đúng 1. Đây là trường hợp riêng của tổng cấp số nhân lùi vô hạn: khi công bội q có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1, tổng của vô số số hạng tiến về một giá trị hữu hạn S = u1/(1 − q). Vô hạn số hạng không có nghĩa là tổng vô hạn, miễn là các số hạng nhỏ đi đủ nhanh.
Nhìn thấy tổng bằng 1 trên một tờ giấy
Lấy một tờ giấy hình vuông, coi diện tích là 1. Cắt đôi, đặt một nửa sang bên: đó là 1/2. Cắt đôi phần còn lại, đặt thêm một nửa: tổng đã là 1/2 + 1/4 = 3/4. Tiếp tục: 7/8, 15/16, 31/32…
Sau mỗi bước, phần còn lại trên bàn luôn bằng đúng phần vừa đặt sang. Sau n bước, đống bên cạnh có diện tích 1 − 1/2^n, phần còn lại là 1/2^n. Phần còn lại nhỏ dần, nhỏ hơn mọi con số dương ta chọn trước, nhưng đống bên cạnh không bao giờ vượt quá tờ giấy ban đầu. Giá trị mà tổng tiến tới chính là 1.
| Số số hạng đã cộng | Tổng riêng | Còn thiếu so với 1 |
|---|---|---|
| 1 | 0,5 | 0,5 |
| 2 | 0,75 | 0,25 |
| 5 | 0,96875 | 0,03125 |
| 10 | 0,9990234… | khoảng 0,001 |
| 20 | 0,99999905… | khoảng 0,000001 |
| 30 | 0,999999999… | khoảng 0,000000001 |
Cứ thêm 10 số hạng, phần thiếu chia cho khoảng một nghìn. Đây là lý do tổng hội tụ rất nhanh: chỉ sau 30 số hạng, khoảng cách tới 1 đã nhỏ hơn một phần tỉ.
Công thức S = u1/(1 − q) đến từ đâu
Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân là Sn = u1(1 − q^n)/(1 − q). Khi trị tuyệt đối của q nhỏ hơn 1, q^n co lại về 0 khi n lớn dần (0,5^10 khoảng 0,001; 0,5^20 khoảng 0,000001). Phần q^n biến mất, còn lại:
S = u1/(1 − q), chỉ đúng khi −1 < q < 1
Thử với 1/2 + 1/4 + …: u1 = 1/2, q = 1/2, S = (1/2)/(1/2) = 1. Với 1/3 + 1/9 + 1/27 + …: S = (1/3)/(2/3) = 1/2. Với 1/4 + 1/16 + …: S = (1/4)/(3/4) = 1/3.
Chữ "bằng" ở đây có nghĩa chính xác: tổng riêng tiến gần giá trị S tuỳ ý khi cộng đủ nhiều số hạng. Toán học gọi đó là giới hạn của dãy tổng riêng. Không có phép cộng vô hạn nào được "làm xong"; ta định nghĩa tổng vô hạn bằng giới hạn ấy, và định nghĩa này không bao giờ mâu thuẫn với các phép tính hữu hạn.
Bảng một số tổng lùi vô hạn hay gặp
| Tổng | u1 | q | Giá trị |
|---|---|---|---|
| 1 + 1/2 + 1/4 + … | 1 | 1/2 | 2 |
| 1/3 + 1/9 + 1/27 + … | 1/3 | 1/3 | 1/2 |
| 1 + 1/4 + 1/16 + … | 1 | 1/4 | 4/3 |
| 0,3 + 0,03 + 0,003 + … | 0,3 | 1/10 | 1/3 |
| 1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + … | 1 | −1/2 | 2/3 |
| 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … | 9/10 | 1/10 | 1 |
Dòng cuối là đẳng thức 0,999… = 1, vốn gây tranh cãi trên mạng đến mức có hẳn một bài riêng trong danh mục này. Dòng có q âm cho thấy các số hạng đổi dấu vẫn hội tụ, và tổng rơi vào giữa: 2/3 nằm giữa tổng riêng 1 và 1/2.
Khi nào không được dùng công thức
Công thức chỉ đúng khi trị tuyệt đối của q nhỏ hơn 1. Thử áp bừa với q = 2: 1 + 2 + 4 + 8 + … "bằng" 1/(1 − 2) = −1. Một tổng các số dương lớn dần mà ra số âm là vô lý trong số học thông thường. Tổng đó không hội tụ, nó phình ra vô hạn.
- q = 1: 1 + 1 + 1 + … tăng mãi, không hội tụ.
- q = −1: 1 − 1 + 1 − 1 + … có tổng riêng nhảy qua lại 1, 0, 1, 0, không tiến về đâu cả.
- q lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn −1: số hạng lớn dần, tổng không hội tụ.
Điều kiện cần (nhưng chưa đủ) để một tổng vô hạn hội tụ là số hạng phải tiến về 0. Với cấp số nhân, số hạng tiến về 0 đúng khi trị tuyệt đối của q nhỏ hơn 1, và lúc đó tổng hội tụ. Với các dãy khác thì không đơn giản thế: số hạng của chuỗi điều hoà 1 + 1/2 + 1/3 + … cũng tiến về 0, nhưng tổng của nó vẫn vô hạn.
Quả bóng nảy mãi trong vài giây
Thả một quả bóng từ độ cao 2 m. Giả sử mỗi lần chạm đất nó nảy lên bằng 3/4 độ cao trước đó. Quả bóng nảy vô số lần (trong mô hình lý tưởng), vậy nó đi được bao xa?
Lần rơi đầu: 2 m. Sau đó mỗi lần nảy, bóng đi lên rồi rơi xuống cùng một độ cao, nên quãng đường gấp đôi độ cao nảy. Các độ cao nảy là 1,5 m; 1,125 m; 0,84375 m… một cấp số nhân với u1 = 1,5 và q = 3/4. Tổng các độ cao nảy là 1,5/(1 − 3/4) = 6 m. Gấp đôi lên là 12 m, cộng lần rơi đầu: tổng quãng đường 14 m.
Còn thời gian? Thời gian rơi từ độ cao h tỉ lệ với căn bậc hai của h. Rơi từ 2 m mất khoảng 0,64 giây. Mỗi lần nảy, độ cao nhân 3/4 nên thời gian bay nhân căn bậc hai của 3/4, khoảng 0,866. Thời gian các lần nảy lại là một cấp số nhân lùi vô hạn, và cộng hết lại được khoảng 8,9 giây. Vô số lần nảy gói gọn trong chưa tới 9 giây.
Ngoài đời, quả bóng thật dừng sớm hơn vì những lần nảy cuối quá nhỏ, bóng biến dạng, rung, và tỉ lệ nảy không còn giữ đúng 3/4. Nhưng thứ ta nghe thấy rất giống mô hình: tiếng "cộc… cộc… cộc cộc cộc" dồn dập dần rồi im bặt, chứ không kéo dài mãi.
Archimedes và diện tích hình viên phân parabol
Hơn 2.200 năm trước, trong tác phẩm Phép cầu phương parabol, Archimedes cần tính diện tích phần giới hạn bởi một parabol và một dây cung. Ông nội tiếp vào đó một tam giác lớn, rồi ở hai khe còn lại nội tiếp hai tam giác nhỏ hơn có tổng diện tích bằng 1/4 tam giác lớn, rồi bốn tam giác nhỏ hơn nữa bằng 1/4 của lớp trước, cứ thế mãi.
Diện tích viên phân bằng diện tích tam giác đầu nhân với 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + … Ông chứng minh tổng này bằng 4/3, và vì người Hy Lạp không chấp nhận phép cộng vô hạn một cách trực tiếp, ông dùng lập luận loại trừ: diện tích không thể lớn hơn 4/3 và cũng không thể nhỏ hơn 4/3. Đây là một trong những phép tính tổng vô hạn sớm nhất còn được ghi lại, gần hai nghìn năm trước khi phép tính vi tích phân ra đời.
Bông tuyết Koch: chu vi vô hạn, diện tích hữu hạn
Bắt đầu với một tam giác đều. Chia mỗi cạnh làm ba, dựng một tam giác đều nhỏ hướng ra ngoài trên đoạn giữa. Lặp lại mãi với mọi cạnh mới. Hình thu được, mô tả bởi nhà toán học Thuỵ Điển Helge von Koch năm 1904, gọi là bông tuyết Koch.
- Chu vi: mỗi bước nhân 4/3, công bội lớn hơn 1, nên chu vi tăng mãi không giới hạn.
- Diện tích: phần thêm vào sau mỗi bước nhân 4/9 so với bước trước, công bội nhỏ hơn 1, nên tổng hội tụ. Kết quả: diện tích bông tuyết bằng 8/5 diện tích tam giác ban đầu.
Cùng một hình, hai cấp số nhân, một hội tụ và một không. Đây là ví dụ đẹp nhất để thấy chỉ một con số, công bội, quyết định tất cả.
Còn Achilles và con rùa?
Nghịch lý Zeno về Achilles đuổi rùa thường được giải thích bằng chính tổng lùi vô hạn: vô số chặng đuổi có tổng thời gian hữu hạn. Các tranh luận triết học quanh nghịch lý này dài hơn nhiều và chưa hẳn đã khép lại; ở đây chỉ cần nhớ rằng công thức S = u1/(1 − q) là công cụ toán học đứng sau lời giải phổ biến ấy.
Góc nhìn hôm nay: tự làm thí nghiệm nhỏ
- Cắt một tờ giấy theo kiểu chia đôi phần còn lại, xếp các mảnh thành hình vuông ban đầu. Đến mảnh thứ 8 hoặc 9, kéo không cắt nổi nữa, nhưng các mảnh đã gần lấp kín.
- Thả một quả bóng bàn từ độ cao đo trước, quay video chậm bằng điện thoại, đo độ cao lần nảy đầu để ước lượng tỉ lệ q, rồi dùng công thức dự đoán tổng quãng đường.
- Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số bằng tổng lùi vô hạn: 0,121212… = 12/100 + 12/10.000 + … = (12/100)/(1 − 1/100) = 12/99 = 4/33.
Muốn đọc kỹ hơn, phần "Giới hạn của dãy số" và "Cấp số nhân lùi vô hạn" trong sách Toán 11 có bài tập chuẩn; ai thích lịch sử có thể tìm bản dịch "Quadrature of the Parabola" trong tuyển tập tác phẩm Archimedes do Thomas Heath biên dịch.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao 1/2 + 1/4 + 1/8 + … bằng 1?
Sau n số hạng, tổng bằng 1 − 1/2^n, nên khoảng cách tới 1 chỉ còn 1/2^n và nhỏ dần về 0. Tổng vô hạn được định nghĩa là giá trị mà các tổng riêng tiến tới, và giá trị đó là 1. Có thể thấy bằng cách cắt đôi liên tục một tờ giấy có diện tích 1.
Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn là gì?
Tổng là S = u1/(1 − q), với u1 là số hạng đầu và q là công bội có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1. Ví dụ 1/3 + 1/9 + 1/27 + … có u1 = 1/3, q = 1/3, nên tổng bằng 1/2.
Khi nào tổng cấp số nhân vô hạn không hội tụ?
Khi trị tuyệt đối của công bội lớn hơn hoặc bằng 1. Lúc đó các số hạng không nhỏ dần về 0, tổng tăng mãi hoặc dao động như 1 − 1 + 1 − 1. Áp công thức vào các trường hợp này sẽ cho kết quả vô nghĩa.
Quả bóng nảy vô số lần có đi được quãng đường vô hạn không?
Không, nếu mỗi lần nảy chỉ đạt một tỉ lệ cố định nhỏ hơn 1 so với lần trước. Thả từ 2 m, mỗi lần nảy lên 3/4 độ cao cũ, tổng quãng đường là 14 m và tổng thời gian khoảng 8,9 giây. Cả quãng đường và thời gian đều là tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?
Là cấp số nhân có vô số số hạng và công bội có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1, nên các số hạng nhỏ dần về 0. Ví dụ 8, 4, 2, 1, 1/2… Tổng tất cả các số hạng của nó là một số hữu hạn, trong ví dụ này bằng 16.
