Có, 0,999… với dãy chữ số 9 kéo dài vô hạn bằng đúng 1, không phải "gần bằng" hay "xấp xỉ". Đó là hai cách viết khác nhau của cùng một số thực, giống như 1/2 và 2/4 là hai cách viết của cùng một phân số. Có ít nhất ba cách chứng minh độc lập, và chỗ khó không nằm ở phép tính mà ở trực giác của ta về chữ "vô hạn".
Cách thứ nhất: nhân ba lần một phần ba
Hầu như ai cũng chấp nhận 1/3 = 0,333… (chia 1 cho 3 trên giấy, phép chia không bao giờ dừng và luôn ra chữ số 3). Nhân hai vế với 3:
3 × 1/3 = 1 và 3 × 0,333… = 0,999…
Vậy 0,999… = 1. Người phản đối thường đáp rằng 1/3 cũng chỉ "gần bằng" 0,333… Nhưng nếu thế thì phép chia 1 cho 3 không có kết quả thập phân nào cả, điều mà chính người đó không tin. Cách này không phải chứng minh chặt chẽ nhất, nhưng nó cho thấy nếu chấp nhận 1/3 = 0,333… thì buộc phải chấp nhận 0,999… = 1.
Cách thứ hai: nhân 10 rồi trừ
Đặt x = 0,999… Nhân với 10: 10x = 9,999… Trừ hai đẳng thức:
10x − x = 9,999… − 0,999… = 9, nên 9x = 9 và x = 1.
Lập luận này gọn và hay được dạy ở trường. Người khó tính sẽ hỏi: có được phép nhân 10 rồi trừ với một số có vô hạn chữ số không? Câu trả lời là được, nhưng để biện minh cho đàng hoàng thì cần biết số thập phân vô hạn thật ra nghĩa là gì. Điều đó dẫn tới cách thứ ba.
Cách thứ ba: số thập phân vô hạn là một tổng vô hạn
Viết 0,999… nghĩa là:
0,999… = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + …
Đây là cấp số nhân với số hạng đầu 9/10 và công bội 1/10. Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = u1/(1 − q) cho (9/10)/(9/10) = 1.
Nói cụ thể hơn: dừng ở n chữ số 9, ta được 1 − 1/10^n. Với một chữ số là 0,9, thiếu 0,1. Với sáu chữ số là 0,999999, thiếu một phần triệu. Phần thiếu nhỏ hơn mọi số dương bạn chọn, miễn đi đủ xa. Ký hiệu 0,999… được định nghĩa là giá trị mà dãy 0,9; 0,99; 0,999… tiến tới, tức giới hạn của dãy, và giới hạn ấy là 1. Đây không phải mẹo ngôn từ: chính định nghĩa này làm cho mọi số thập phân vô hạn, như 0,333… hay số pi, có nghĩa.
Một lập luận bổ sung: không có số nào chen giữa
Nếu 0,999… và 1 là hai số khác nhau thì phải có một số nằm giữa chúng, chẳng hạn trung bình cộng của hai số. Thử viết số đó ra: nó phải lớn hơn 0,9; lớn hơn 0,99; lớn hơn 0,999… ở mọi vị trí, mà lại nhỏ hơn 1. Không có cách nào viết một chữ số nào khác 9 vào bất kỳ vị trí nào. Khoảng cách giữa hai số nhỏ hơn 1/10^n với mọi n, nên khoảng cách đó chỉ có thể bằng 0.
Vì sao trực giác lại cãi
Người nghi ngờ 0,999… = 1 không hề kém toán. Sự phản đối đến từ vài hình ảnh rất tự nhiên:
- Nhầm quá trình với kết quả. Ta hình dung một người đang viết thêm số 9, viết mãi mà chưa xong, nên "chưa tới 1". Nhưng 0,999… không phải người đang viết; nó là một số đã xác định, với tất cả các chữ số 9 cùng có mặt.
- Tin rằng mỗi số chỉ có một cách viết. Ta quen nghĩ hai chuỗi chữ số khác nhau thì là hai số khác nhau. Điều đó đúng với số thập phân hữu hạn có cùng dạng, nhưng không đúng khi cho phép vô hạn chữ số.
- Hình dung "số liền trước của 1". Trong số nguyên, 0 là số liền trước 1. Trong số thực không có số liền trước: giữa hai số thực khác nhau luôn có vô số số khác. Ứng viên "số lớn nhất nhỏ hơn 1" không tồn tại.
Các nhà nghiên cứu giáo dục toán, trong đó có David Tall, đã ghi nhận từ cuối thập niên 1970 rằng nhiều sinh viên năm đầu đại học vẫn khẳng định 0,999… nhỏ hơn 1, dù đã học giới hạn. Hiểu được chỗ vướng này là một bước tiến thật trong cách nghĩ về số, không phải chuyện bắt bẻ chữ.
Mọi số thập phân hữu hạn đều có hai cách viết
0,999… = 1 không phải trường hợp lạ duy nhất. Bất kỳ số thập phân hữu hạn nào khác 0 cũng có một cách viết thứ hai kết thúc bằng dãy 9 vô hạn:
| Cách viết quen | Cách viết thứ hai |
|---|---|
| 1 | 0,999… |
| 0,5 | 0,4999… |
| 2,37 | 2,36999… |
| 10 | 9,999… |
| 0,125 | 0,124999… |
Hiện tượng này không riêng hệ thập phân. Trong hệ nhị phân máy tính dùng, 0,111… (cơ số 2) = 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1. Trong hệ cơ số b nào cũng vậy, dãy chữ số lớn nhất (b − 1) lặp vô hạn sau dấu phẩy có giá trị bằng 1. Hệ đếm nào có số thập phân vô hạn thì cũng có hiện tượng hai cách viết.
Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số
Hiểu 0,999… = 1 là đã nắm được cách đổi mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số. Quy tắc gọn:
- Tuần hoàn ngay sau dấu phẩy: chu kỳ đặt trên tử, mẫu là bấy nhiêu chữ số 9. Ví dụ 0,(27) = 0,272727… = 27/99 = 3/11. Còn 0,(142857) = 142857/999999 = 1/7.
- Tuần hoàn sau vài chữ số: tử là (phần số đến hết chu kỳ thứ nhất) trừ (phần không tuần hoàn), mẫu là các chữ số 9 (bằng độ dài chu kỳ) theo sau là các chữ số 0 (bằng số chữ số không tuần hoàn). Ví dụ 0,1(6) = 0,1666… = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6.
Áp đúng quy tắc vào 0,(9): 9/9 = 1. Phép tính không có chỗ cho ngoại lệ, và đó là thêm một bằng chứng nữa.
Chiều ngược lại cũng thú vị: phân số tối giản có mẫu chỉ chứa thừa số 2 và 5 thì cho số thập phân hữu hạn (1/8 = 0,125). Mẫu có thừa số nguyên tố khác thì cho số thập phân vô hạn tuần hoàn (1/7, 1/12). Số thập phân vô hạn không tuần hoàn, như căn bậc hai của 2 hay pi, là số vô tỉ, không viết được thành phân số.
| Phân số | Số thập phân | Độ dài chu kỳ |
|---|---|---|
| 1/3 | 0,(3) | 1 |
| 1/6 | 0,1(6) | 1 |
| 1/7 | 0,(142857) | 6 |
| 1/11 | 0,(09) | 2 |
| 1/13 | 0,(076923) | 6 |
Thế còn số vô cùng bé?
Một phản bác tinh tế hơn: "Biết đâu 1 − 0,999… là một số vô cùng bé, nhỏ hơn mọi số dương nhưng khác 0?" Trong hệ số thực, thứ dùng ở toán phổ thông, đại học, vật lý và kỹ thuật, không có số dương nào nhỏ hơn mọi số dương; tính chất này gọi là tính chất Archimedes. Vì vậy trong số thực, hiệu ấy bằng 0.
Các nhà toán học có xây dựng những hệ số khác có chứa vô cùng bé, như giải tích không chuẩn của Abraham Robinson những năm 1960. Nhưng đó là cấu trúc khác, với định nghĩa khác; chúng không làm đẳng thức 0,999… = 1 trong số thực trở thành sai. Câu hỏi "0,999… có bằng 1 không" khi đặt ra bình thường là câu hỏi về số thực, và câu trả lời là có.
Góc nhìn hôm nay: kiểm tra bằng chính tay mình
- Dùng máy tính bỏ túi bấm 1 ÷ 3 × 3. Nhiều máy cho 1, một số máy cho 0,99999999. Máy chỉ giữ được hữu hạn chữ số, nên kết quả này là chuyện làm tròn của máy, không chứng minh gì về số thực.
- Đổi thử 0,(36), 0,2(7) và 0,(9) ra phân số theo quy tắc ở trên. Kết quả: 4/11, 5/18 và 1.
- Thử tìm một số nằm giữa 0,999… và 1. Ghi lại từng vị trí chữ số; lý do bạn bế tắc chính là chứng minh.
Ai muốn đi sâu có thể đọc phần xây dựng số thực trong giáo trình giải tích năm nhất đại học (qua dãy Cauchy hoặc lát cắt Dedekind). Đó là nơi câu hỏi "một số thực thật ra là gì" được trả lời trọn vẹn.
Câu hỏi thường gặp
0,999… có bằng 1 không?
Có, bằng đúng 1 chứ không phải xấp xỉ. 0,999… là giới hạn của dãy 0,9; 0,99; 0,999… và giới hạn đó bằng 1. Đây là hai cách viết khác nhau của cùng một số thực.
Chứng minh 0,999… = 1 thế nào cho dễ hiểu?
Cách dễ nhất: 1/3 = 0,333…, nhân cả hai vế với 3 được 1 = 0,999… Cách chặt chẽ hơn: 0,999… = 9/10 + 9/100 + … là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = 9/10, q = 1/10, nên bằng (9/10)/(1 − 1/10) = 1.
Có số nào nằm giữa 0,999… và 1 không?
Không có. Một số nằm giữa phải lớn hơn 0,9; 0,99; 0,999… ở mọi bước mà vẫn nhỏ hơn 1, và không có cách viết chữ số nào thoả mãn. Khoảng cách giữa hai số nhỏ hơn mọi số dương, nên bằng 0.
Vì sao máy tính bấm 1 chia 3 nhân 3 lại ra 0,99999999?
Vì máy tính chỉ lưu được hữu hạn chữ số. Nó cắt 1/3 thành 0,33333333 rồi nhân 3, nên thiếu một chút. Đó là sai số làm tròn của máy, không liên quan đến đẳng thức 0,999… = 1 trong toán học.
Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số thế nào?
Nếu tuần hoàn ngay sau dấu phẩy, lấy chu kỳ làm tử và mẫu là bấy nhiêu chữ số 9, ví dụ 0,(27) = 27/99 = 3/11. Nếu có phần không tuần hoàn đứng trước, như 0,1(6), thì tử là 16 − 1 = 15 và mẫu là 90, ra 1/6.
