Chuỗi điều hoà 1 + 1/2 + 1/3 + … phân kỳ: tăng chậm mà vẫn vô hạn

Chuỗi điều hoà 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … có tổng lớn vô hạn, dù từng số hạng nhỏ dần về 0. Nó tăng cực kỳ chậm: cộng 12.367 số hạng đầu mới vượt được 10, và tổng n số hạng đầu xấp xỉ ln n + 0,5772. Đây là ví dụ kinh điển cho thấy "số hạng tiến về 0" chưa đủ để một tổng vô hạn hữu hạn.

Chuỗi điều hoà là gì và vì sao có tên đó

Chuỗi điều hoà là tổng các nghịch đảo của số tự nhiên: 1, 1/2, 1/3, 1/4… Tổng n số hạng đầu thường ký hiệu Hn và gọi là số điều hoà thứ n. Vài giá trị đầu: H1 = 1, H2 = 1,5, H3 khoảng 1,833, H4 khoảng 2,083.

Cái tên đến từ âm nhạc. Một dây đàn rung tạo ra âm cơ bản, cùng các hoạ âm (harmonics) có bước sóng bằng 1/2, 1/3, 1/4… chiều dài sóng cơ bản. Dãy 1, 1/2, 1/3… vì vậy được gọi là dãy điều hoà. Còn một lý do toán học: mỗi số hạng là trung bình điều hoà của hai số hạng kề nó. Chẳng hạn 1/3 là trung bình điều hoà của 1/2 và 1/4, theo công thức 2ab/(a + b).

Chứng minh của Oresme: gom nhóm thành từng nửa

Khoảng năm 1350, Nicole Oresme, một học giả người Pháp, đưa ra chứng minh vẫn được dạy đến nay. Ông gom các số hạng thành từng nhóm, nhóm sau dài gấp đôi nhóm trước:

• 1/3 + 1/4: mỗi số không nhỏ hơn 1/4, nên tổng không nhỏ hơn 2 × 1/4 = 1/2.
• 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8: mỗi số không nhỏ hơn 1/8, nên tổng không nhỏ hơn 4 × 1/8 = 1/2.
• 1/9 đến 1/16: tám số, mỗi số không nhỏ hơn 1/16, tổng không nhỏ hơn 1/2.
• Cứ thế, mỗi nhóm tiếp theo đều đóng góp ít nhất 1/2.

Có vô số nhóm như vậy, mỗi nhóm thêm ít nhất 1/2, nên tổng vượt qua mọi con số. Cụ thể, cộng đến số hạng 1/2^k thì tổng ít nhất là 1 + k/2. Muốn vượt 100, chỉ cần (theo cách ước lượng thô này) cộng tới 1/2^200, một con số khổng lồ nhưng hữu hạn.

Chứng minh của Oresme bị lãng quên một thời gian. Vào thế kỷ 17, Pietro Mengoli rồi anh em nhà Bernoulli lại chứng minh tính phân kỳ bằng những cách khác.

Chậm đến mức nào: bảng các mốc

Chuỗi điều hoà phân kỳ, nhưng nếu chỉ ngồi cộng thì bạn sẽ nghĩ nó dừng lại. Đây là số số hạng tối thiểu cần cộng để tổng vượt mỗi mốc:

Nhìn cột giữa: mỗi lần tăng thêm 1, số số hạng cần cộng nhân lên khoảng 2,7 lần, tức xấp xỉ số e. Muốn vượt 20 phải cộng khoảng 272 triệu số hạng; muốn vượt 100 cần khoảng 1,5 × 10^43 số hạng, nhiều hơn số giây trôi qua từ khi vũ trụ hình thành (khoảng 4 × 10^17 giây) tới hơn 10^25 lần.

Cộng một triệu số hạng đầu, tổng chỉ khoảng 14,39. Nếu một máy tính cộng một tỉ số hạng mỗi giây, chạy suốt 100 năm, tổng thu được cũng chỉ chừng 43. Một đại lượng vô hạn mà trong thực tế không bao giờ thấy nó lớn.

Công thức gần đúng: logarit cộng hằng số Euler

Leonhard Euler phát hiện trong những năm 1730 rằng Hn bám sát ln n, logarit tự nhiên của n, và hiệu giữa chúng tiến về một hằng số:

Hn ≈ ln n + γ, với γ (gamma) ≈ 0,5772

Hằng số γ gọi là hằng số Euler – Mascheroni. Kiểm tra: với n = 1.000, ln 1000 + 0,5772 ≈ 7,4850, còn tổng thật H1000 ≈ 7,4855. Với n = 1.000.000, sai lệch chỉ còn khoảng năm phần mười triệu.

Đây là chỗ chuỗi điều hoà nối với logarit: Hn là phiên bản "cộng rời rạc" của diện tích dưới đường cong 1/x, mà diện tích đó từ 1 đến n chính là ln n. Logarit tăng không giới hạn nhưng rất chậm, và chuỗi điều hoà cũng vậy.

Điều kỳ lạ: dù γ xuất hiện khắp nơi trong toán học, đến nay người ta vẫn chưa biết nó là số hữu tỉ hay vô tỉ. Một kết quả nhỏ hơn đã được chứng minh từ năm 1915: Hn không bao giờ là số nguyên với mọi n lớn hơn 1.

Mua bao nhiêu gói để đủ bộ hình sưu tập

Chuỗi điều hoà có mặt ở một tình huống rất đời thường: mỗi gói bánh hay gói kẹo có một tấm hình ngẫu nhiên trong bộ N tấm, mỗi tấm có khả năng xuất hiện như nhau. Trung bình phải mua bao nhiêu gói để đủ bộ?

Gói đầu chắc chắn cho hình mới. Khi đã có k tấm, khả năng gói tiếp theo cho hình mới là (N − k)/N, nên trung bình phải mua N/(N − k) gói để gặp tấm mới tiếp theo. Cộng tất cả lại:

Số gói trung bình = N/N + N/(N − 1) + … + N/1 = N × HN

Phần lớn số gói bị "đốt" ở cuối: khi chỉ còn thiếu một tấm, trung bình phải mua thêm đúng N gói mới gặp nó. Với bộ 50 tấm, riêng tấm cuối cùng ngốn trung bình 50 gói, tức gần một phần tư tổng số. Đó là lý do người sưu tập hay đổi hình trùng với nhau: trao đổi phá vỡ cái đuôi dài của chuỗi điều hoà. Bài toán này có tên là bài toán người sưu tập phiếu (coupon collector) trong lý thuyết xác suất. Trên thực tế, nếu nhà sản xuất in một số tấm ít hơn các tấm khác thì con số còn lớn hơn nhiều.

Con kiến trên sợi dây chun dãn mãi

Một câu đố nổi tiếng: sợi dây chun dài 1 km, con kiến bò từ đầu này với tốc độ 1 cm mỗi giây. Cứ mỗi giây, dây dãn đều thêm 1 km. Kiến có tới được đầu kia không?

Câu trả lời bất ngờ là có. Mỗi lần dây dãn, kiến được kéo theo, nên phần dây kiến đã đi (tính theo tỉ lệ) không mất đi. Trong giây thứ n, dây dài khoảng n km, quãng 1 cm của kiến chiếm tỉ lệ 1/(100.000 × n) chiều dài dây. Tổng các tỉ lệ ấy là Hn/100.000, và vì chuỗi điều hoà phân kỳ, sớm muộn gì tổng cũng vượt 1. Nhưng "sớm muộn" ở đây là khoảng e^100000 giây, một con số có hơn 43.000 chữ số. Kiến tới đích về mặt toán học, nhưng vũ trụ đã tắt từ lâu trước đó.

Những họ hàng của chuỗi điều hoà

Thay đổi một chút là chuỗi có thể đổi tính chất hoàn toàn:

• Chuỗi nghịch đảo bình phương 1 + 1/4 + 1/9 + … hội tụ, tổng bằng π bình phương chia 6, khoảng 1,645. Chỉ cần số hạng nhỏ nhanh hơn một chút là tổng hữu hạn.
• Chuỗi điều hoà đan dấu 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … hội tụ về ln 2, khoảng 0,693.
• Tổng nghịch đảo các số nguyên tố 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + … vẫn phân kỳ, Euler chứng minh năm 1737, dù còn chậm hơn chuỗi điều hoà, tăng theo kiểu ln của ln n.
• Chuỗi Kempner: bỏ khỏi chuỗi điều hoà mọi số có chứa chữ số 9 trong cách viết thập phân (1/9, 1/19, 1/90…), phần còn lại hội tụ, tổng khoảng 22,92. Kết quả do Aubrey Kempner công bố năm 1914. Lý do: số rất lớn gần như chắc chắn chứa ít nhất một chữ số 9, nên ta đã bỏ đi "gần hết" các số hạng.

Chuỗi điều hoà cũng là lời giải cho bài toán xếp chồng các viên gạch nhô ra khỏi mép bàn xa tuỳ ý, một ứng dụng vật lý dễ làm thử bằng sách hay quân bài.

Góc nhìn hôm nay: tự tay cảm nhận sự chậm chạp

1. Dùng bảng tính trên điện thoại: cột A ghi 1 đến 10.000, cột B ghi 1/A, cột C cộng dồn. Kéo xuống dòng cuối để thấy tổng chưa tới 10 dù đã cộng mười nghìn số.
2. So cột cộng dồn với hàm LN(A) + 0,5772 để thấy công thức của Euler khớp đến mức nào.
3. Thử bài toán sưu tập: lấy một con xúc xắc 6 mặt, gieo đến khi đủ cả 6 mặt và đếm số lần. Lý thuyết cho trung bình 6 × H6 = 14,7 lần. Làm 10 lượt rồi lấy trung bình để so.

Ai muốn đọc thêm có thể tìm cuốn "Gamma: Exploring Euler's Constant" của Julian Havil (2003), viết dễ đọc về chuỗi điều hoà và hằng số Euler – Mascheroni.