Cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số thứ hai, bằng số liền trước cộng thêm một số không đổi gọi là công sai, ký hiệu d. Biết số hạng đầu u1 và công sai d thì tính được ngay số hạng thứ n theo công thức un = u1 + (n − 1)d, và tổng n số hạng đầu Sn = n(u1 + un)/2. Đây là kiểu tăng đều đặn nhất trong toán học: mỗi bước thêm đúng một lượng như nhau, vẽ lên giấy thì các điểm nằm trên một đường thẳng.
Định nghĩa cấp số cộng nói bằng lời thường
Hãy nhìn dãy 3, 7, 11, 15, 19. Lấy số sau trừ số trước, lần nào cũng ra 4. Đó là dấu hiệu nhận biết duy nhất cần nhớ: hiệu hai số hạng liên tiếp không đổi. Con số không đổi ấy là công sai.
- Công sai dương thì dãy tăng: 2, 5, 8, 11… (d = 3).
- Công sai âm thì dãy giảm: 100, 93, 86, 79… (d = −7).
- Công sai bằng 0 thì dãy đứng yên: 6, 6, 6, 6… Đây vẫn là cấp số cộng, chỉ là trường hợp tẻ nhạt nhất.
Trong sách giáo khoa lớp 11, số hạng thứ n được viết là un (u chỉ số n). Ở bài này ta viết u1, u2, un cho dễ gõ: chữ số đứng sau u chính là vị trí của số hạng trong dãy.
Một dãy như 1, 2, 4, 8, 16 không phải cấp số cộng, vì hiệu liên tiếp lần lượt là 1, 2, 4, 8, cứ lớn dần. Dãy đó nhân đôi chứ không cộng đều, và nó thuộc về họ hàng khác là cấp số nhân. Phân biệt được hai họ này là đã nắm được nửa chương dãy số.
Công thức số hạng tổng quát và cách hiểu không cần học thuộc
Đi từ u1 đến un, ta bước qua n − 1 khoảng, mỗi khoảng dài d. Vậy:
un = u1 + (n − 1)d
Chỗ hay nhầm là chữ "n − 1" chứ không phải "n". Cứ nghĩ đến hàng rào: 10 cây cọc chỉ có 9 khoảng ở giữa. Số hạng thứ 10 cách số hạng đầu 9 bước công sai, không phải 10.
Ví dụ tự tính được
Một khán đài có hàng ghế đầu 30 chỗ, mỗi hàng phía sau nhiều hơn hàng trước 4 chỗ. Hàng thứ 20 có bao nhiêu chỗ? u20 = 30 + 19 × 4 = 106 chỗ.
Ngược lại, nếu biết hai số hạng bất kỳ thì tìm được cả dãy. Giả sử u3 = 11 và u8 = 31. Từ số hạng thứ 3 đến thứ 8 là 5 bước, tăng tổng cộng 20, nên d = 4. Lùi hai bước từ u3 ta có u1 = 3. Dãy là 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31…
Chèn số vào giữa hai số cho trước
Muốn chèn k số vào giữa a và b để tạo thành cấp số cộng, ta có k + 1 khoảng, nên d = (b − a)/(k + 1). Chèn 4 số giữa 2 và 17: d = 15/5 = 3, được dãy 2, 5, 8, 11, 14, 17. Thợ kẻ vạch chia thước, người chia khoảng cách cọc rào, người chia bậc cầu thang đều làm đúng phép tính này, dù có thể chưa bao giờ gọi tên nó.
Tính chất "số giữa bằng trung bình hai số bên cạnh"
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số đầu và số cuối) bằng trung bình cộng của hai số hạng kề nó:
uk = (uk−1 + uk+1)/2, tức là uk−1 + uk+1 = 2uk
Với dãy 3, 7, 11 ta có 3 + 11 = 14 = 2 × 7. Tính chất này cho một phép thử rất nhanh: ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b. Chính cái tên "cấp số cộng" (tiếng Anh: arithmetic progression) cũng gắn với trung bình cộng (arithmetic mean).
Tính chất còn mở rộng ra: hai số hạng cách đều hai đầu thì có tổng bằng nhau. Trong dãy 3, 7, 11, 15, 19, 23 ta có 3 + 23 = 7 + 19 = 11 + 15 = 26. Đây là chìa khoá của công thức tính tổng ở mục sau.
Tổng n số hạng đầu: ghép cặp đầu với cuối
Viết dãy xuôi một lần, viết ngược một lần, cộng theo cột. Mỗi cột đều bằng u1 + un, có n cột, nhưng ta đã cộng dãy hai lần, nên:
Sn = n(u1 + un)/2 = n[2u1 + (n − 1)d]/2
Đây là mẹo ghép cặp quen thuộc trong giai thoại cậu bé Gauss cộng từ 1 đến 100; ở đây chỉ cần biết nó đúng cho mọi cấp số cộng chứ không riêng dãy 1, 2, 3.
Quay lại khán đài: 20 hàng ghế, hàng đầu 30, hàng cuối 106. Tổng số chỗ là 20 × (30 + 106)/2 = 1.360 chỗ. Không cần cộng 20 con số.
Một cách nhớ trực quan: tổng của cấp số cộng bằng số số hạng nhân với trung bình của số đầu và số cuối. Vì các số tăng đều, giá trị trung bình nằm đúng giữa hai đầu.
Cấp số cộng trong vật lý và đời sống
Cấp số cộng xuất hiện bất cứ khi nào một đại lượng thay đổi một lượng như nhau sau mỗi đơn vị thời gian, độ dài hay độ sâu.
| Hiện tượng | Dãy số (khoảng) | Công sai |
|---|---|---|
| Áp suất khi lặn biển (áp suất tuyệt đối) | 1 atm ở mặt nước, 2 atm ở 10 m, 3 atm ở 20 m, 4 atm ở 30 m | khoảng 1 atm mỗi 10 m nước biển |
| Quãng đường vật rơi tự do đi được trong từng giây | 4,9 m; 14,7 m; 24,5 m; 34,3 m | khoảng 9,8 m |
| Năm diễn ra Thế vận hội Mùa hè | 2016, 2020 (hoãn sang 2021), 2024, 2028 | 4 năm |
| Năm nhuận dương lịch | 2024, 2028, 2032… | 4 năm, trừ năm tròn thế kỷ không chia hết cho 400 |
| Số tầng và độ cao toà nhà (tầng cao đều 3,3 m) | 3,3 m; 6,6 m; 9,9 m… | 3,3 m |
Dòng vật rơi tự do đáng dừng lại một chút. Galileo Galilei, khi thả bi lăn trên máng nghiêng đầu thế kỷ 17, nhận ra quãng đường đi được trong những khoảng thời gian bằng nhau liên tiếp tỉ lệ với các số lẻ 1 : 3 : 5 : 7. Dãy số lẻ là cấp số cộng công sai 2. Cộng dồn các số lẻ thì ra 1, 4, 9, 16, tức tổng quãng đường tỉ lệ với bình phương thời gian. Một quy luật cơ học quan trọng hoá ra chỉ là tổng của một cấp số cộng.
Dòng năm nhuận cũng là bài học tốt: đời thường hiếm khi là cấp số cộng hoàn hảo. Lịch Gregory bỏ năm nhuận ở 1700, 1800, 1900 nhưng giữ ở 2000, vì năm thiên văn dài khoảng 365,2422 ngày chứ không đúng 365,25 ngày. Một cấp số cộng "gần đúng" được vá bằng ngoại lệ, đó là cách con người khớp con số tròn vào tự nhiên.
Cấp số cộng của số nguyên tố: một kết quả mới của thế kỷ 21
Dãy 5, 11, 17, 23, 29 là cấp số cộng công sai 6, và cả năm số đều là số nguyên tố. Dãy 7, 37, 67, 97, 127, 157 với công sai 30 cho sáu số nguyên tố liền một mạch. Câu hỏi tự nhiên: có tìm được cấp số cộng toàn số nguyên tố dài tuỳ ý không?
Năm 2004, Ben Green và Terence Tao chứng minh câu trả lời là có: với bất kỳ độ dài k nào, luôn tồn tại cấp số cộng gồm k số nguyên tố. Định lý Green – Tao không chỉ ra cách tìm dãy nhanh, chỉ khẳng định nó tồn tại. Đây là một trong những lý do Terence Tao nhận Huy chương Fields năm 2006. Một dãy số tưởng như chỉ dành cho học sinh lớp 11 lại nằm ở trung tâm nghiên cứu toán hiện đại.
Lưu ý một điều thú vị: một cấp số cộng toàn số nguyên tố, dài hơn vài số hạng, gần như buộc phải có công sai chia hết cho 2, 3, 5… Nếu công sai lẻ thì cứ hai bước lại gặp một số chẵn. Đó là lý do các dãy trên có công sai 6 và 30.
So sánh cấp số cộng với các kiểu tăng khác
Cấp số cộng là mốc chuẩn để so mọi kiểu tăng trưởng. Bảng sau đặt nó cạnh dãy bình phương và dãy nhân đôi, cùng xuất phát từ những số nhỏ.
| Bước n | Cấp số cộng 2, 4, 6… | Bình phương n × n | Nhân đôi 1, 2, 4… |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 | 1 |
| 5 | 10 | 25 | 16 |
| 10 | 20 | 100 | 512 |
| 20 | 40 | 400 | 524.288 |
| 30 | 60 | 900 | 536.870.912 |
Cấp số cộng tăng theo đường thẳng, bình phương tăng theo đường cong parabol, còn nhân đôi bùng lên. Lúc đầu chúng gần như ngang nhau; ở bước thứ 5, dãy bình phương thậm chí còn vượt dãy nhân đôi. Khác biệt chỉ lộ rõ khi đi xa. Người ta hay nói "tăng tuyến tính" để chỉ cấp số cộng: đều, dễ đoán, dễ lập kế hoạch.
Góc nhìn hôm nay: dùng cấp số cộng để ước lượng nhanh
Cấp số cộng là công cụ ước lượng tốt nhất khi một thứ gì đó thay đổi đều. Vài bài tập nhỏ để tự làm:
- Đếm số bậc cầu thang nhà mình và đo chiều cao một bậc. Độ cao của bậc thứ n là một cấp số cộng. Tính thử độ cao bậc cuối rồi đo kiểm tra.
- Một chồng ghế nhựa: mỗi ghế chồng thêm cao lên một đoạn không đổi. Đo chiều cao 1 ghế và 2 ghế chồng nhau, suy ra công sai, rồi dự đoán chồng 10 ghế cao bao nhiêu.
- Đếm số ô gạch theo một hàng của sân hình thang: mỗi hàng bớt đi một số ô như nhau. Dùng công thức tổng để biết cần bao nhiêu viên gạch.
Muốn đọc thêm, chương "Dãy số – cấp số cộng – cấp số nhân" trong sách giáo khoa Toán 11 trình bày đầy đủ định nghĩa và bài tập. Ai thích lịch sử có thể tìm đọc về thí nghiệm máng nghiêng của Galileo trong cuốn "Đối thoại về hai khoa học mới" (1638), nơi quy luật số lẻ 1, 3, 5, 7 được mô tả.
Câu hỏi thường gặp
Cấp số cộng là gì?
Cấp số cộng là dãy số trong đó mỗi số hạng, kể từ số thứ hai, bằng số liền trước cộng với một số không đổi gọi là công sai. Ví dụ 3, 7, 11, 15 là cấp số cộng công sai 4. Dấu hiệu nhận biết là hiệu hai số liên tiếp luôn bằng nhau.
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là gì?
Số hạng thứ n là un = u1 + (n − 1)d, với u1 là số hạng đầu và d là công sai. Chữ n − 1 xuất hiện vì từ số hạng đầu đến số hạng thứ n chỉ có n − 1 bước. Ví dụ u1 = 30, d = 4 thì u20 = 30 + 19 × 4 = 106.
Tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng thế nào?
Dùng công thức Sn = n(u1 + un)/2, tức số số hạng nhân với trung bình của số đầu và số cuối. Nếu chưa biết số cuối thì dùng Sn = n[2u1 + (n − 1)d]/2. Công thức đến từ mẹo ghép cặp số đầu với số cuối, mỗi cặp có tổng bằng nhau.
Làm sao biết ba số có lập thành cấp số cộng không?
Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b, nghĩa là số ở giữa bằng trung bình cộng của hai số hai bên. Ví dụ 4, 9, 14 thoả vì 4 + 14 = 18 = 2 × 9.
Cấp số cộng khác cấp số nhân thế nào?
Cấp số cộng thêm một lượng không đổi sau mỗi bước, còn cấp số nhân nhân với một số không đổi. Vì vậy cấp số cộng tăng đều theo đường thẳng, còn cấp số nhân với công bội lớn hơn 1 tăng ngày càng nhanh. Dãy 2, 4, 6, 8 là cấp số cộng; dãy 2, 4, 8, 16 là cấp số nhân.
