Tổng các bình phương 1 + 4 + 9 + … + n × n bằng n(n + 1)(2n + 1)/6, còn tổng các lập phương 1 + 8 + 27 + … + n^3 bằng đúng bình phương của 1 + 2 + … + n, tức (n(n + 1)/2)^2. Hai công thức này trả lời những câu hỏi rất đời thường: một chồng cam xếp hình chóp có bao nhiêu quả, trên bàn cờ vua có bao nhiêu hình vuông và bao nhiêu hình chữ nhật.
Chồng cam hình chóp và tổng bình phương
Ở sạp trái cây, người bán hay xếp cam thành khối chóp: tầng đáy là hình vuông n × n quả, tầng trên (n − 1) × (n − 1) quả, cứ thế lên tới đỉnh 1 quả. Số quả là:
1 × 1 + 2 × 2 + … + n × n = n(n + 1)(2n + 1)/6
Một chồng đáy 10 × 10 có 10 × 11 × 21/6 = 385 quả. Đáy 5 × 5 có 55 quả. Các số 1, 5, 14, 30, 55, 91… gọi là số chóp vuông.
Nếu xếp chóp đáy tam giác (mỗi tầng là một tam giác số chấm), số quả là n(n + 1)(n + 2)/6, gọi là số tứ diện: 1, 4, 10, 20, 35… Chồng đáy tam giác cạnh 10 quả có 220 quả. Cùng một "cạnh đáy", chóp vuông chứa nhiều hơn chóp tam giác gần gấp đôi khi n lớn.
| Cạnh đáy n | Chóp vuông | Chóp tam giác |
|---|---|---|
| 3 | 14 | 10 |
| 5 | 55 | 35 |
| 8 | 204 | 120 |
| 10 | 385 | 220 |
| 24 | 4.900 | 2.600 |
Bài toán viên đạn pháo: khi chồng cam là một hình vuông
Thời thuyền buồm, đạn pháo tròn cũng được chất thành chóp vuông trên boong. Năm 1875, nhà toán học Pháp Édouard Lucas đặt câu hỏi: có chồng chóp vuông nào mà số viên đạn, khi trải phẳng ra, xếp vừa khít một hình vuông không? Nói cách khác, khi nào tổng 1 + 4 + … + n × n là một số chính phương?
Ngoài trường hợp tầm thường n = 1, chỉ có đúng một đáp án: n = 24, tổng 4.900 = 70 × 70. Lucas phỏng đoán đây là nghiệm duy nhất; G. N. Watson chứng minh trọn vẹn năm 1918, dùng đến những công cụ khá sâu về hàm elliptic. Một câu hỏi về đống đạn trên tàu cần gần nửa thế kỷ mới khép lại.
Vì sao lại chia cho 6: một cách chứng minh tự làm được
Có nhiều cách. Cách "kính viễn vọng" (telescoping) chỉ cần đại số lớp 8. Khai triển lập phương:
(k + 1)^3 − k^3 = 3k^2 + 3k + 1
Viết đẳng thức này cho k = 1, 2, …, n rồi cộng tất cả. Vế trái triệt tiêu dây chuyền, chỉ còn (n + 1)^3 − 1. Vế phải là 3 lần tổng bình phương, cộng 3 lần tổng 1 + 2 + … + n, cộng n. Giải ra tổng bình phương, sau vài bước gọn lại được n(n + 1)(2n + 1)/6.
Còn một cách bằng hình rất đẹp: ghép ba khối chóp bậc thang giống nhau (mỗi khối gồm các lớp 1 × 1, 2 × 2, …, n × n khối lập phương nhỏ) thành một khối hộp gần đúng kích thước n × (n + 1) × (n + 1/2). Thể tích khối hộp là n(n + 1)(2n + 1)/2, chia ba được công thức. Người đọc có thể thử bằng các khối xếp hình đồ chơi của trẻ.
Người xưa đã biết công thức này từ rất sớm. Archimedes dùng nó trong tác phẩm Về đường xoắn ốc (thế kỷ 3 TCN). Nhà toán học Ấn Độ Aryabhata, trong cuốn Aryabhatiya viết năm 499, nêu cả công thức tổng bình phương lẫn tổng lập phương.
Tổng lập phương bằng bình phương của tổng
Đây là một trong những đẳng thức bất ngờ nhất của số học sơ cấp:
1^3 + 2^3 + … + n^3 = (1 + 2 + … + n)^2
| n | Tổng lập phương | 1 + 2 + … + n | Bình phương của tổng |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 + 8 = 9 | 3 | 9 |
| 3 | 9 + 27 = 36 | 6 | 36 |
| 4 | 36 + 64 = 100 | 10 | 100 |
| 5 | 100 + 125 = 225 | 15 | 225 |
| 10 | 3.025 | 55 | 3.025 |
Vì 1 + 2 + … + n là số tam giác n(n + 1)/2, ta có tổng lập phương bằng bình phương số tam giác. Đẳng thức thường gắn với tên Nicomachus xứ Gerasa (khoảng năm 100), người ghi nhận một quan sát liên quan: các số lẻ xếp thành nhóm 1; 3 + 5; 7 + 9 + 11; 13 + 15 + 17 + 19… cho tổng từng nhóm đúng bằng 1, 8, 27, 64. Cộng dồn các nhóm, ta được tổng các số lẻ đầu tiên, mà tổng các số lẻ đầu tiên luôn là số chính phương.
Hình vuông lớn ghép từ các lập phương
Hình dung một hình vuông cạnh 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Chia nó thành các dải hình chữ L lồng nhau, dải thứ k có diện tích đúng k^3: dải thứ nhất là ô 1 × 1, dải thứ hai diện tích 8, dải thứ ba diện tích 27, dải thứ tư diện tích 64. Tổng 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = diện tích hình vuông. Chứng minh không cần một chữ nào, chỉ cần tô màu.
Bàn cờ vua có bao nhiêu hình vuông, bao nhiêu hình chữ nhật
Câu đố quen: bàn cờ 8 × 8 có bao nhiêu hình vuông? Câu trả lời 64 là sai, vì còn hình vuông 2 × 2, 3 × 3… cho tới cả bàn cờ.
- Hình vuông k × k đặt được ở (9 − k) × (9 − k) vị trí. Tổng: 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204, đúng là tổng bình phương từ 1 tới 8.
- Hình chữ nhật (tính cả hình vuông): chọn 2 trong 9 đường kẻ dọc và 2 trong 9 đường kẻ ngang. Mỗi cách chọn có 36 khả năng, nên có 36 × 36 = 1.296 hình chữ nhật. Và 1.296 = 1^3 + 2^3 + … + 8^3.
Hai đáp án của cùng một bàn cờ lần lượt là tổng bình phương và tổng lập phương. Đây là ví dụ rất hay để thấy công thức không chỉ nằm trong sách: nó đếm hộ ta những thứ có hình dạng.
Tổng luỹ thừa bậc cao và nửa phần tư giờ của Bernoulli
Tổng 1^p + 2^p + … + n^p với p bất kỳ luôn là một đa thức bậc p + 1 theo n. Tổng bậc 1 là bậc hai, tổng bình phương là bậc ba, tổng lập phương là bậc bốn. Johann Faulhaber ở Ulm đầu thế kỷ 17 tính được nhiều công thức như vậy đến bậc 17. Jakob Bernoulli, trong cuốn Ars Conjectandi xuất bản năm 1713 sau khi ông mất, tìm ra quy luật chung bằng một dãy hệ số nay gọi là số Bernoulli.
Bernoulli khoe trong sách rằng với công thức của mình, ông tính tổng luỹ thừa bậc 10 của 1.000 số tự nhiên đầu tiên trong "chưa tới nửa phần tư giờ", tức dưới khoảng 7,5 phút. Kết quả là con số 32 chữ số: 91.409.924.241.424.243.424.241.924.242.500. Máy tính ngày nay xác nhận đúng từng chữ số.
| Tổng | Công thức | Ví dụ n = 10 |
|---|---|---|
| 1 + 2 + … + n | n(n + 1)/2 | 55 |
| 1^2 + 2^2 + … + n^2 | n(n + 1)(2n + 1)/6 | 385 |
| 1^3 + 2^3 + … + n^3 | (n(n + 1)/2)^2 | 3.025 |
| 1^4 + 2^4 + … + n^4 | n(n + 1)(2n + 1)(3n^2 + 3n − 1)/30 | 25.333 |
Góc nhìn hôm nay: sắp chồng cam cũng là toán
Nhân tiện chuyện chồng cam: năm 1611, Johannes Kepler phỏng đoán cách xếp quả cầu dày đặc nhất là kiểu chồng cam ở sạp trái cây, lấp khoảng 74% thể tích. Thomas Hales công bố chứng minh năm 1998 bằng máy tính, và năm 2014 nhóm của ông hoàn tất bản kiểm chứng hình thức bằng phần mềm. Một thói quen của người bán hoa quả hoá ra tối ưu theo nghĩa toán học chặt chẽ.
- Lần tới ra chợ, đếm cạnh đáy một chồng cam hay quýt chóp vuông rồi nhẩm số quả theo bảng trên.
- Lấy giấy kẻ ô vẽ một hình vuông cạnh 21 ô (vì 1 + 2 + … + 6 = 21), tô sáu dải chữ L có diện tích 1, 8, 27, 64, 125, 216 để thấy tổng của chúng là 441 = 21 × 21.
- Kẻ một khung 10 × 10 ô như bàn cờ caro trên giấy và tự kiểm: có 385 hình vuông (tổng bình phương tới 10) và 3.025 hình chữ nhật (tổng lập phương tới 10).
Câu hỏi thường gặp
Công thức tổng bình phương từ 1 đến n là gì?
1 × 1 + 2 × 2 + … + n × n = n(n + 1)(2n + 1)/6. Ví dụ với n = 10, tổng là 10 × 11 × 21/6 = 385. Công thức chứng minh được bằng khai triển (k + 1)^3 − k^3 rồi cộng dồn.
Tổng lập phương từ 1 đến n bằng bao nhiêu?
Tổng 1^3 + 2^3 + … + n^3 bằng bình phương của tổng 1 + 2 + … + n, tức (n(n + 1)/2)^2. Ví dụ 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10 × 10. Đẳng thức này thường gắn với tên Nicomachus.
Bàn cờ vua có bao nhiêu hình vuông?
Có 204 hình vuông, tính tất cả kích thước từ 1 × 1 đến 8 × 8. Con số này bằng tổng bình phương 1 + 4 + 9 + … + 64. Nếu tính cả hình chữ nhật thì có 1.296 hình, bằng tổng lập phương từ 1 đến 8.
Một chồng cam hình chóp vuông có bao nhiêu quả?
Nếu đáy là hình vuông n × n quả và mỗi tầng trên bớt một quả mỗi cạnh, số quả là n(n + 1)(2n + 1)/6. Đáy 5 × 5 có 55 quả, đáy 10 × 10 có 385 quả. Chồng đáy tam giác cạnh n có n(n + 1)(n + 2)/6 quả.
Bài toán viên đạn pháo của Lucas là gì?
Lucas hỏi năm 1875: khi nào số viên đạn trong một chồng chóp vuông lại là số chính phương? Đáp án duy nhất ngoài n = 1 là n = 24, với 4.900 = 70 × 70 viên. G. N. Watson chứng minh tính duy nhất năm 1918.
