Nhiều thứ quen thuộc quanh ta được thiết kế theo cấp số nhân: khổ giấy A0, A1, A2… A4 nhỏ dần với công bội 1 chia căn bậc hai của 2 về chiều dài cạnh; tần số các nốt trên phím đàn tăng theo công bội căn bậc 12 của 2; nấc khẩu độ máy ảnh f/2, f/2,8, f/4 nhân căn 2 sau mỗi bước. Lý do chung: khi muốn mỗi bước thay đổi cùng một tỉ lệ chứ không cùng một lượng, cấp số nhân là lựa chọn tự nhiên.
Khổ giấy A: một tờ cắt đôi vẫn giữ nguyên dáng
Cắt tờ A4 ngang qua điểm giữa cạnh dài, ta được hai tờ A5 có hình dáng giống hệt tờ A4, chỉ nhỏ hơn. Muốn được như vậy, tỉ lệ cạnh dài chia cạnh ngắn phải là căn bậc hai của 2, khoảng 1,414. Tờ lớn nhất A0 được chọn có diện tích 1 mét vuông, và mỗi khổ tiếp theo là nửa khổ trước.
| Khổ | Kích thước (mm) | Diện tích | Dùng thường gặp |
|---|---|---|---|
| A0 | 841 × 1189 | khoảng 1 m² | bản vẽ kỹ thuật lớn, áp phích |
| A1 | 594 × 841 | 1/2 m² | bản vẽ, bảng tin |
| A2 | 420 × 594 | 1/4 m² | áp phích nhỏ |
| A3 | 297 × 420 | 1/8 m² | bản đồ gấp, tranh in |
| A4 | 210 × 297 | 1/16 m² | văn bản, giấy in |
| A5 | 148 × 210 | 1/32 m² | sổ tay, tờ rơi |
| A6 | 105 × 148 | 1/64 m² | bưu thiếp |
Ba cấp số nhân chạy song song: diện tích có công bội 1/2, mỗi cạnh có công bội 1 chia căn 2 (khoảng 0,707), và số tờ cắt được từ một tờ A0 có công bội 2 (1, 2, 4, 8, 16 tờ A4). Tờ A4 có diện tích 1/16 mét vuông, nên với giấy in 80 g/m², một tờ nặng đúng 5 gam. Một ram 500 tờ nặng 2,5 kg, cộng bao bì. Đó là phép tính nhân viên văn phòng có thể kiểm bằng cân nhà bếp.
Ý tưởng khổ giấy tỉ lệ căn 2 được nhà vật lý Đức Georg Christoph Lichtenberg nêu trong một bức thư năm 1786. Kỹ sư Walter Porstmann biến nó thành tiêu chuẩn DIN 476 của Đức năm 1922, sau trở thành tiêu chuẩn quốc tế ISO 216. Ngày nay gần như mọi quốc gia dùng khổ A, ngoại lệ lớn là Mỹ và Canada với khổ Letter 8,5 × 11 inch.
Lợi ích thực tế: máy photocopy phóng từ A4 lên A3 chỉ cần chọn tỉ lệ 141%, thu từ A3 xuống A4 chọn 71%, hình không méo và không thừa lề. Hai con số ấy chính là căn 2 và nghịch đảo của nó.
Phím đàn: mỗi nửa cung nhân 1,0595
Tai người cảm nhận cao độ theo tỉ lệ tần số chứ không theo hiệu. Từ 220 Hz lên 440 Hz và từ 440 Hz lên 880 Hz đều nghe như "lên một quãng tám", dù hiệu lần lượt là 220 và 440 Hz. Quãng tám ứng với tần số nhân 2.
Hệ bình quân 12, dùng trên đàn piano và guitar hiện nay, chia quãng tám thành 12 nửa cung bằng nhau theo tỉ lệ. Mỗi nửa cung nhân tần số với căn bậc 12 của 2, khoảng 1,05946. Mười hai lần nhân như thế thì đúng bằng nhân 2. Lấy nốt La chuẩn 440 Hz (tiêu chuẩn ISO 16):
| Nốt | Tần số (Hz, làm tròn) |
|---|---|
| Đô (C4, "Đô giữa") | 261,63 |
| Mi (E4) | 329,63 |
| Sol (G4) | 392,00 |
| La (A4) | 440,00 |
| Si (B4) | 493,88 |
| Đô (C5) | 523,25 |
Cái giá của sự đều đặn: các quãng "đẹp" theo tỉ lệ số nguyên bị lệch nhẹ. Quãng năm đúng lý tưởng có tỉ lệ 3/2 = 1,5, còn hệ bình quân cho 1,4983, lệch khoảng 2 cent (1 cent bằng một phần trăm nửa cung), tai thường không nhận ra. Quãng ba trưởng lý tưởng 5/4 = 1,25, hệ bình quân cho 1,2599, lệch gần 14 cent, người nghe tinh có thể thấy hơi "chói". Đổi lại, đàn chơi được ở mọi giọng mà không phải lên dây lại.
Người đầu tiên tính chính xác hệ bình quân 12 là Chu Tái Dục (Zhu Zaiyu), một hoàng thân nhà Minh ở Trung Quốc, công bố năm 1584. Khoảng năm 1605, Simon Stevin ở Hà Lan cũng đưa ra cách tính tương tự. Hai người làm việc độc lập ở hai đầu thế giới.
Phím đàn guitar càng lên càng sát
Chiều dài phần dây rung tỉ lệ nghịch với tần số. Muốn lên một nửa cung, dây phải ngắn lại còn 1/1,05946, tức khoảng 94,39% chiều dài trước đó. Phần dây còn lại sau mỗi phím là một cấp số nhân, nên khoảng cách giữa các phím nhỏ dần đều đặn theo tỉ lệ. Với guitar dây dài 650 mm, khoảng cách từ đầu cần đàn tới phím:
- Phím 1: khoảng 36,5 mm.
- Phím 5: khoảng 163,1 mm.
- Phím 7: khoảng 216,2 mm.
- Phím 12: đúng 325 mm, chính giữa dây, nốt cao hơn dây buông một quãng tám.
- Phím 24: khoảng 487,5 mm, tức 3/4 dây, cao hơn hai quãng tám.
Thợ làm đàn xưa dùng "quy tắc 18" (sau chính xác hơn là chia cho 17,817): mỗi phím đặt cách phím trước một đoạn bằng phần dây còn lại chia 17,817. Đó chính là cách dựng cấp số nhân bằng thước và compa.
Máy ảnh: khẩu độ, tốc độ, ISO đều nhân đôi
Nhiếp ảnh là nơi cấp số nhân được dùng trọn vẹn nhất, vì ánh sáng cũng được mắt cảm nhận theo tỉ lệ. Một "nấc sáng" (stop) nghĩa là gấp đôi hoặc giảm nửa lượng sáng.
| Thông số | Dãy nấc chuẩn | Công bội |
|---|---|---|
| Khẩu độ (số f) | 1 – 1,4 – 2 – 2,8 – 4 – 5,6 – 8 – 11 – 16 – 22 | căn 2 (khoảng 1,414) |
| Tốc độ màn trập (giây) | 1/30 – 1/60 – 1/125 – 1/250 – 1/500 – 1/1000 | 1/2 (làm tròn) |
| Độ nhạy ISO | 100 – 200 – 400 – 800 – 1600 – 3200 | 2 |
Vì sao số f lại nhân căn 2? Số f là tiêu cự chia đường kính lỗ mở. Lượng sáng tỉ lệ với diện tích lỗ, tức bình phương đường kính. Muốn giảm nửa diện tích thì đường kính chỉ cần chia căn 2. Các số 5,6; 11; 22 là bản làm tròn của 5,66; 11,3; 22,6.
Ba dãy cùng dùng "đơn vị" nấc sáng nên đổi qua đổi lại được: mở khẩu từ f/8 sang f/5,6 (thêm một nấc) thì tăng tốc từ 1/125 lên 1/250 (bớt một nấc) để giữ độ sáng ảnh như cũ. Người chụp ảnh tính toán bằng cấp số nhân mà không cần viết ra một công thức nào.
Dãy số ưu tiên Renard và điện trở E12
Khi sản xuất hàng loạt thứ có nhiều cỡ như bu lông, dây cáp, tụ điện, ta cần chọn trước một bộ cỡ chuẩn. Nếu chia đều theo cấp số cộng, các cỡ nhỏ sẽ quá thưa còn các cỡ lớn quá dày. Chia theo cấp số nhân thì mỗi cỡ hơn cỡ trước cùng một tỉ lệ phần trăm, phủ đều mọi vùng.
Những năm 1870, sĩ quan công binh Pháp Charles Renard cần chuẩn hoá dây cáp cho khinh khí cầu, và theo các tài liệu thường dẫn, ông rút khoảng 425 cỡ dây xuống còn 17 cỡ bằng cách chia mỗi khoảng từ 1 đến 10 thành các bậc theo cấp số nhân. Dãy Renard về sau thành tiêu chuẩn quốc tế ISO 3:
- R5 (5 bậc mỗi lần gấp 10, công bội căn bậc 5 của 10, khoảng 1,585): 1 – 1,6 – 2,5 – 4 – 6,3 – 10.
- R10 (công bội khoảng 1,259): 1 – 1,25 – 1,6 – 2 – 2,5 – 3,15 – 4 – 5 – 6,3 – 8 – 10.
Bạn sẽ nhận ra các con số này ở nhiều nơi: tiết diện dây điện trong nhà 1,5 – 2,5 – 4 – 6 – 10 mm²; cầu chì và aptomat 6 – 10 – 16 – 20 – 25 – 32 – 40 – 63 A. Các dãy này không trùng hoàn toàn với Renard nhưng cùng tinh thần: mỗi bậc hơn bậc trước một tỉ lệ gần đều.
Ngành điện tử dùng dãy E theo tiêu chuẩn IEC 60063. Dãy E12 gồm 12 giá trị mỗi lần gấp 10: 10 – 12 – 15 – 18 – 22 – 27 – 33 – 39 – 47 – 56 – 68 – 82, công bội khoảng 1,21. Với sai số cho phép ±10%, các điện trở trong dãy phủ gần kín mọi giá trị mà không chồng lấn nhiều. Ai từng mua linh kiện ở chợ Nhật Tảo hay chợ Trời hẳn quen những con số "lẻ" 4,7k, 47k, 470 ôm: chúng không lẻ chút nào.
Tiền giấy cũng theo một kiểu dãy ưu tiên: dãy 1 – 2 – 5 lặp lại sau mỗi lần nhân 10. Mệnh giá tiền Việt Nam đang lưu hành 1.000 – 2.000 – 5.000 – 10.000 – 20.000 – 50.000 – 100.000 – 200.000 – 500.000 đồng là một ví dụ. Bộ ba 1, 2, 5 xấp xỉ một cấp số nhân công bội căn bậc ba của 10 (khoảng 2,15) và cho phép trả mọi số tiền chẵn bằng ít tờ.
Vì sao lại là tỉ lệ chứ không phải hiệu
Điểm chung của tất cả ví dụ trên: sai khác có ý nghĩa là sai khác tương đối. Thêm 10 ôm vào điện trở 10 ôm là gấp đôi, còn vào điện trở 10.000 ôm thì không đáng kể. Thêm 1 mm vào tờ giấy bưu thiếp thấy rõ, vào áp phích thì không. Thêm 100 Hz vào nốt trầm là nhảy mấy quãng, vào nốt cao chỉ chừng một nửa cung. Khi cảm nhận hay sai số tỉ lệ với độ lớn, các bậc chia theo cấp số nhân là cách chia "công bằng" nhất.
Ngược lại, thứ gì sai khác tuyệt đối mới quan trọng, như số ghế, số bậc cầu thang, vạch chia thước, thì người ta chia theo cấp số cộng.
Góc nhìn hôm nay: tìm cấp số nhân trong nhà
- Lấy một tờ A4, gấp đôi, đo cạnh, rồi chia cạnh dài cho cạnh ngắn. Kết quả gần 1,414 ở mọi lần gấp.
- Mở ứng dụng lên dây đàn trên điện thoại, bấm các phím đàn guitar hoặc phím piano liền nhau, ghi tần số, chia số sau cho số trước. Thương sẽ quanh 1,059.
- Xem vòng khẩu trên ống kính máy ảnh cơ cũ (nếu nhà còn) hoặc trong chế độ chụp tay của điện thoại, đối chiếu với dãy 1,4 – 2 – 2,8 – 4.
- Lật bảng điện trong nhà, đọc số ampe trên các aptomat và so với dãy ưu tiên.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao khổ giấy A4 có tỉ lệ căn 2?
Vì với tỉ lệ cạnh dài chia cạnh ngắn bằng căn bậc hai của 2, cắt tờ giấy ngang qua điểm giữa cạnh dài sẽ được hai tờ có cùng hình dáng. Nhờ đó các khổ A0, A1, A2… A4 là cấp số nhân, phóng thu giữa các khổ không bị méo. A0 rộng 1 m², A4 bằng 1/16 của nó.
Tần số các nốt nhạc tăng theo quy luật nào?
Trong hệ bình quân 12 dùng trên piano và guitar, mỗi nửa cung nhân tần số với căn bậc 12 của 2, khoảng 1,0595. Sau 12 nửa cung, tần số gấp đôi, tức lên một quãng tám. Đây là cấp số nhân với nốt La chuẩn 440 Hz làm mốc.
Vì sao số f trên máy ảnh là 1,4 – 2 – 2,8 – 4?
Lượng sáng tỉ lệ với diện tích lỗ mở, tức bình phương đường kính. Mỗi nấc giảm nửa lượng sáng nên đường kính chỉ cần chia căn 2, và số f nhân khoảng 1,414. Các số như 5,6 và 11 là bản làm tròn của 5,66 và 11,3.
Dãy số ưu tiên Renard là gì?
Là các dãy cỡ chuẩn chia khoảng từ 1 đến 10 thành các bậc theo cấp số nhân, do Charles Renard đề xuất những năm 1870 và nay là tiêu chuẩn ISO 3. Dãy R5 là 1 – 1,6 – 2,5 – 4 – 6,3 – 10. Mỗi bậc hơn bậc trước cùng một tỉ lệ phần trăm.
Vì sao điện trở có giá trị lẻ như 4,7k hay 47 ôm?
Vì chúng thuộc dãy E theo tiêu chuẩn IEC 60063, chia mỗi lần gấp 10 thành các bậc theo cấp số nhân. Dãy E12 gồm 10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56, 68, 82. Với sai số ±10%, các giá trị này phủ gần kín mọi khoảng.
