Theo nghĩa cộng thông thường, 1 + 2 + 3 + 4 + … không bằng −1/12: tổng riêng của nó tăng mãi không giới hạn, nên chuỗi phân kỳ và không có tổng. Con số −1/12 là giá trị mà một số phương pháp "gán giá trị" đặc biệt, nổi tiếng nhất là hàm zeta Riemann, gắn cho chuỗi này. Nó có ý nghĩa thật trong toán và vật lý, nhưng chữ "bằng" ở đây mang một nghĩa khác hẳn với phép cộng ta học ở trường.
Con số gây sốt từ đâu ra
Tháng 1 năm 2014, kênh Numberphile đăng một video ngắn, hai nhà vật lý "chứng minh" trên giấy rằng 1 + 2 + 3 + … = −1/12. Video lan rộng, nhiều báo lớn viết theo, và đến nay câu hỏi vẫn xuất hiện đều đặn trên các diễn đàn tiếng Việt. Sau đó kênh và các tác giả đăng thêm phần giải thích, nói rõ hơn những điều kiện mà video đầu đã lược bỏ.
Ý tưởng không mới. Năm 1913, Srinivasa Ramanujan, khi ấy còn là một nhân viên văn phòng ở Madras, viết thư cho nhà toán học G. H. Hardy ở Cambridge, trong đó có dòng 1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12 kèm chú thích "theo lý thuyết của tôi". Ramanujan biết rõ đây không phải phép cộng thường. Trước đó nữa, Leonhard Euler ở thế kỷ 18 đã có những tính toán cho ra cùng kết quả.
Theo nghĩa thông thường, chuỗi này không có tổng
Tổng vô hạn được định nghĩa là giới hạn của các tổng riêng. Với 1 + 2 + 3 + …, tổng riêng là các số tam giác:
| Cộng đến | Tổng riêng |
|---|---|
| 10 | 55 |
| 100 | 5.050 |
| 1.000 | 500.500 |
| 1.000.000 | 500.000.500.000 |
Không có số nào mà các tổng riêng tiến tới, chúng vượt mọi con số. Vì vậy theo định nghĩa chuẩn, chuỗi phân kỳ. Một tổng các số dương ngày càng lớn không thể ra số âm, càng không thể ra một phân số nhỏ hơn 0. Ai nói ngược lại mà không kèm giải thích là đang nói sai.
"Chứng minh" trong video và chỗ hỏng của nó
Lập luận phổ biến đi qua ba bước:
- Gán cho chuỗi Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + … giá trị 1/2, vì tổng riêng nhảy giữa 1 và 0, "trung bình" là 1/2.
- Từ đó suy ra 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4 bằng cách cộng chuỗi này với chính nó dịch đi một bước.
- Lấy S = 1 + 2 + 3 + … trừ đi 1 − 2 + 3 − 4 + … thì được 4 + 8 + 12 + … = 4S, rồi giải ra S = −1/12.
Mỗi bước đều làm những việc chỉ hợp lệ với chuỗi hội tụ: dịch chuyển số hạng, cộng trừ từng cặp, chèn số 0. Với chuỗi phân kỳ, các thao tác này có thể cho bất kỳ kết quả nào. Thử một phép tương tự:
- S = 1 + 2 + 3 + 4 + …
- Chèn số 0 vào đầu: S = 0 + 1 + 2 + 3 + …
- Trừ từng cột: 0 = 1 + 1 + 1 + 1 + … Gọi chuỗi này là T.
- Lại chèn 0 vào đầu T và trừ: 0 = 1 + 0 + 0 + … = 1.
Kết luận 0 = 1 cho thấy: với chuỗi 1 + 2 + 3 + …, không có cách gán giá trị nào vừa giữ được tính chất "cộng từng cặp" vừa cho phép chèn số 0 ở đầu. Phương pháp nào ra −1/12 thì buộc phải bỏ một trong các quy tắc quen thuộc đó. Đây không phải lỗi nhỏ: đó chính là chỗ tách "tổng" theo nghĩa thường khỏi "giá trị gán" theo nghĩa mở rộng.
Các cách gán giá trị cho chuỗi phân kỳ
Các nhà toán học thế kỷ 19 và 20 đã xây dựng nhiều phương pháp lấy tổng mở rộng, mỗi phương pháp có quy tắc rõ ràng và cho kết quả trùng với tổng thông thường khi chuỗi hội tụ.
| Chuỗi | Tổng thông thường | Giá trị gán | Phương pháp |
|---|---|---|---|
| 1 − 1 + 1 − 1 + … | không có | 1/2 | Cesàro (trung bình các tổng riêng), Abel |
| 1 − 2 + 3 − 4 + … | không có | 1/4 | Abel; Euler đã tính năm 1749 |
| 1 + 1 + 1 + 1 + … | vô hạn | −1/2 | hàm zeta, giá trị tại 0 |
| 1 + 2 + 3 + 4 + … | vô hạn | −1/12 | hàm zeta (tại −1), tổng Ramanujan |
| 1 + 2 + 4 + 8 + … | vô hạn | −1 | áp công thức cấp số nhân ngoài miền hội tụ |
Lưu ý: phương pháp Cesàro và Abel không gán được giá trị cho 1 + 2 + 3 + …; chỉ những phương pháp mạnh hơn và "kém ngoan" hơn như điều chỉnh bằng hàm zeta mới làm được.
Hàm zeta Riemann: −1/12 đến từ đâu một cách đàng hoàng
Với một số s lớn hơn 1, chuỗi 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + … hội tụ. Tổng của nó được gọi là ζ(s), đọc là "zeta của s". Chẳng hạn ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + … = π bình phương chia 6.
Năm 1859, Bernhard Riemann chỉ ra hàm này có thể mở rộng một cách duy nhất ra gần như toàn bộ mặt phẳng số phức, theo một quy trình gọi là thác triển giải tích. Hàm mở rộng không còn được tính bằng chuỗi ban đầu ở những chỗ chuỗi phân kỳ, nhưng nó trùng với chuỗi ở mọi chỗ chuỗi hội tụ và "trơn" một cách cứng nhắc: biết nó ở một vùng nhỏ là biết nó ở mọi nơi.
Nếu ngây thơ thay s = −1 vào chuỗi ban đầu, ta được 1 + 2 + 3 + 4 + … Còn giá trị thật của hàm mở rộng tại −1 là ζ(−1) = −1/12. Vì vậy câu chính xác là: hàm zeta, sau khi thác triển, nhận giá trị −1/12 tại s = −1. Nói "1 + 2 + 3 + … = −1/12" là một cách viết tắt, đúng khi người nghe hiểu ngầm ngữ cảnh đó, và sai khi người nghe hiểu là phép cộng thường.
Một cách nhìn khác: phần hằng số bị che khuất
Có một lối giải thích không cần số phức. Thay vì cắt tổng đột ngột ở số N, ta "làm mềm" phép cắt, cho các số hạng gần N giảm dần về 0 thay vì biến mất đột ngột. Khi đó tổng riêng có dạng: một phần lớn tăng theo N bình phương, cộng một hằng số, cộng những phần nhỏ dần về 0. Phần tăng theo N bình phương phụ thuộc vào cách làm mềm, nhưng hằng số luôn là −1/12, bất kể làm mềm thế nào. Terence Tao trình bày cách nhìn này rất rõ trong một bài viết năm 2010. Nói nôm na: −1/12 là thứ còn lại sau khi bỏ đi phần vô hạn, và nó không phụ thuộc vào cách ta cắt.
Vật lý dùng −1/12 ở đâu
Con số này không chỉ là trò chữ của dân toán. Năm 1948, nhà vật lý Hà Lan Hendrik Casimir dự đoán hai tấm kim loại phẳng đặt rất gần nhau trong chân không sẽ hút nhau, do chân không lượng tử giữa hai tấm chỉ cho phép một số kiểu dao động nhất định. Tính năng lượng này dẫn tới những tổng phân kỳ dạng 1 + 2 + 3 + … (trong mô hình đơn giản) hoặc 1^3 + 2^3 + … (trong không gian ba chiều), và khi xử lý bằng hàm zeta, vật lý gia nhận được đáp số hữu hạn. Hiệu ứng Casimir đã được đo với độ chính xác cao từ năm 1997 trong thí nghiệm của Steve Lamoreaux, và các phép đo về sau khớp với dự đoán.
Trong lý thuyết dây bosonic, con số −1/12 xuất hiện trong phép tính dẫn tới yêu cầu không – thời gian phải có 26 chiều. Đây là kết quả lý thuyết, chưa có kiểm chứng thực nghiệm, nhưng nó cho thấy giá trị gán cho chuỗi phân kỳ có thể đóng vai trò thật trong một phép tính vật lý chặt chẽ.
Điểm chung: vật lý không nói "tổng các số tự nhiên là −1/12". Nó nói rằng sau khi tách bỏ phần vô hạn không quan sát được, phần còn lại, đo được, chứa −1/12.
Góc nhìn hôm nay: đọc tin toán học cho tỉnh
Câu chuyện −1/12 là bài tập tốt cho kỹ năng đọc tin khoa học. Vài câu nên tự hỏi khi gặp một tuyên bố gây sốc:
- Chữ quan trọng nhất đang được dùng theo nghĩa nào? Ở đây là chữ "bằng" và chữ "tổng".
- Có điều kiện nào bị lược đi không? Video năm 2014 lược đi việc các thao tác chỉ hợp lệ với chuỗi hội tụ.
- Cùng cách làm ấy có chứng minh được điều vô lý không? Nếu có, như phép chèn số 0 ở trên, thì cách làm có vấn đề.
Ai muốn đọc tiếp có thể tìm cuốn "Divergent Series" của G. H. Hardy (xuất bản năm 1949, sau khi ông mất), sách kinh điển về các phương pháp lấy tổng chuỗi phân kỳ, và cuốn tiểu sử Ramanujan "The Man Who Knew Infinity" của Robert Kanigel (1991).
Câu hỏi thường gặp
1 + 2 + 3 + … có thật sự bằng −1/12 không?
Theo nghĩa cộng thông thường thì không: tổng riêng tăng mãi nên chuỗi phân kỳ, không có tổng. −1/12 là giá trị mà hàm zeta Riemann sau khi thác triển nhận tại s = −1, và cũng là giá trị theo phương pháp tổng Ramanujan. Chữ "bằng" ở đây mang nghĩa mở rộng, không phải phép cộng ở trường.
Vì sao video chứng minh 1 + 2 + 3 + … = −1/12 bị cho là sai?
Video dùng các thao tác như dịch chuyển, cộng trừ từng cặp và gán giá trị 1/2 cho chuỗi 1 − 1 + 1 − …, vốn chỉ hợp lệ với chuỗi hội tụ. Áp những thao tác đó cho chuỗi phân kỳ có thể suy ra cả 0 = 1. Kết quả −1/12 có cơ sở, nhưng cách chứng minh trong video thì không chặt chẽ.
Hàm zeta Riemann là gì?
Với s lớn hơn 1, ζ(s) là tổng 1 + 1/2^s + 1/3^s + … Riemann năm 1859 mở rộng hàm này ra gần như toàn bộ mặt phẳng phức. Giá trị tại s = −1 của hàm mở rộng là −1/12, tại s = 0 là −1/2.
Chuỗi 1 − 1 + 1 − 1 + … bằng bao nhiêu?
Theo nghĩa thông thường, chuỗi Grandi này không có tổng vì tổng riêng nhảy qua lại giữa 1 và 0. Theo phương pháp Cesàro, tức lấy trung bình các tổng riêng, nó được gán giá trị 1/2. Phương pháp Abel cũng cho 1/2.
−1/12 có ứng dụng thật trong vật lý không?
Có. Khi tính hiệu ứng Casimir, lực hút giữa hai tấm kim loại rất gần nhau trong chân không, vật lý gia gặp các tổng phân kỳ và xử lý chúng bằng hàm zeta để ra đáp số hữu hạn. Hiệu ứng này đã được đo trong phòng thí nghiệm từ năm 1997.
