Số tam giác là số chấm xếp được thành một tam giác đều: 1, 3, 6, 10, 15, 21…, số thứ n bằng n(n + 1)/2. Số chính phương là số chấm xếp được thành hình vuông: 1, 4, 9, 16, 25…, số thứ n bằng n × n. Hai dãy này gắn chặt với nhau: cộng hai số tam giác liên tiếp luôn ra một số chính phương, và cộng các số lẻ liên tiếp từ 1 cũng ra số chính phương.
Số hình học: khi con số có hình dạng
Người Hy Lạp cổ, nhất là trường phái Pythagoras ở thế kỷ 6–5 TCN, hay biểu diễn số bằng những viên sỏi xếp trên mặt đất. Chữ "calculus" trong tiếng Latin vốn nghĩa là viên sỏi nhỏ. Xếp sỏi thành hình, họ thấy có những số "có dáng": số tam giác, số vuông, số ngũ giác. Ngày nay gọi chung là số hình học (figurate numbers).
Biểu tượng tetractys của phái Pythagoras là tam giác gồm 10 chấm xếp thành bốn hàng 1, 2, 3, 4. Với họ, 10 là con số thiêng, và nó chính là số tam giác thứ tư.
Số tam giác: 1, 3, 6, 10, 15…
Số tam giác thứ n, ký hiệu Tn, là tổng 1 + 2 + 3 + … + n. Hàng đầu 1 chấm, hàng sau 2 chấm, cứ thế đến hàng n. Công thức:
Tn = n(n + 1)/2
Có một cách thấy công thức bằng mắt: lấy hai tam giác chấm giống nhau, lật một cái và ghép vào cái kia, ta được hình chữ nhật n hàng, n + 1 cột. Hình chữ nhật có n(n + 1) chấm, một tam giác bằng một nửa.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Số tam giác Tn | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 |
| Số chính phương n × n | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
Số tam giác ở quanh ta
- 10 ki bowling xếp thành tam giác 4 hàng: T4 = 10.
- 15 bi màu trong bi-a lỗ (pool) xếp trong khung tam giác 5 hàng: T5 = 15.
- Bắt tay: một nhóm n người, mỗi cặp bắt tay một lần, có n(n − 1)/2 cái bắt tay, tức số tam giác thứ n − 1. Một bàn tiệc 10 người cụng ly với nhau đủ đôi: 45 tiếng "cạch".
- Đấu vòng tròn: một giải 20 đội gặp nhau mỗi cặp một trận có T19 = 190 trận; đá lượt đi lượt về thì gấp đôi, 380 trận, đúng số trận một mùa của các giải bóng đá 20 đội.
- Nối điểm: n điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng, nối được n(n − 1)/2 đoạn thẳng.
Một chi tiết vui: 666 là số tam giác, T36 = 36 × 37/2 = 666.
Số chính phương và tổng các số lẻ
Số chính phương là bình phương của một số nguyên: 1, 4, 9, 16, 25… Hình vuông chấm cạnh n có n × n chấm.
Muốn đi từ hình vuông cạnh n lên cạnh n + 1, ta thêm một hình chữ L ở góc: n chấm dọc, n chấm ngang và 1 chấm ở góc, tổng 2n + 1 chấm, luôn là số lẻ. Vì vậy:
1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n × n
Cộng 5 số lẻ đầu: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Cộng 10 số lẻ đầu: 100. Hiệu hai số chính phương liên tiếp đi qua đúng các số lẻ 3, 5, 7, 9… Đây cũng là quy luật mà Galileo thấy ở vật rơi: quãng đường trong từng giây tỉ lệ 1 : 3 : 5 : 7, cộng dồn lại thì tỉ lệ với bình phương thời gian.
Mẹo nhận diện số chính phương
- Chữ số tận cùng chỉ có thể là 0, 1, 4, 5, 6 hoặc 9. Số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8 chắc chắn không chính phương.
- Số chính phương tận cùng bằng 5 thì hai chữ số cuối luôn là 25 (225, 625, 1.225).
- Số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1. Số dạng 4k + 2 hay 4k + 3 không thể là số chính phương.
- Số chính phương có số ước lẻ, vì các ước đi theo cặp trừ căn bậc hai đứng một mình. Ví dụ 36 có 9 ước: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Tính chất cuối giải được một câu đố quen: 100 cánh cửa đóng, người thứ k đảo trạng thái mọi cửa có số thứ tự chia hết cho k. Sau 100 người, cửa nào mở? Cửa số m bị đảo đúng bằng số ước của m, nên chỉ cửa có số ước lẻ, tức các số chính phương 1, 4, 9, …, 100, còn mở. Có 10 cửa mở.
Hai số tam giác ghép thành một hình vuông
Đặt hình vuông 4 × 4 chấm, kẻ một đường chéo bậc thang: một phía là tam giác 4 hàng (10 chấm), phía kia là tam giác 3 hàng (6 chấm). 10 + 6 = 16. Tổng quát:
Tn−1 + Tn = n × n
Kiểm tra: T5 + T6 = 15 + 21 = 36 = 6 × 6. Đại số cũng xác nhận: (n − 1)n/2 + n(n + 1)/2 = n(2n)/2 = n × n.
Một đẳng thức khác đẹp không kém: 8 lần một số tam giác cộng 1 luôn là số chính phương lẻ, 8Tn + 1 = (2n + 1) × (2n + 1). Với T4 = 10: 81 = 9 × 9. Từ đó có phép thử nhanh: số m là số tam giác khi và chỉ khi 8m + 1 là số chính phương. 55 có là số tam giác không? 8 × 55 + 1 = 441 = 21 × 21, đúng.
Số vừa tam giác vừa chính phương
Có số nào vừa xếp được thành tam giác vừa xếp được thành hình vuông không? 1 là hiển nhiên. Số tiếp theo là 36: T8 = 36 = 6 × 6. Sau đó là 1.225 (T49 = 35 × 35), rồi 41.616 (T288 = 204 × 204), rồi 1.413.721.
Các số này thưa dần rất nhanh, mỗi số lớn gấp khoảng 34 lần số trước. Tìm chúng dẫn tới một phương trình nổi tiếng trong số học là phương trình Pell, x bình phương trừ 2 lần y bình phương bằng 1, có vô số nghiệm nguyên. Vì thế có vô số số vừa tam giác vừa chính phương, dù chúng xa nhau đến chóng mặt.
Gauss và nhật ký "Eureka"
Ngày 10 tháng 7 năm 1796, Carl Friedrich Gauss, khi ấy 19 tuổi, ghi vào nhật ký toán học: "ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ". Ý ông: mọi số nguyên dương đều viết được thành tổng của nhiều nhất ba số tam giác (cho phép dùng số 0). Ví dụ 20 = 10 + 10, 25 = 15 + 10, 47 = 36 + 10 + 1.
Kết quả này nằm trong một chuỗi các định lý về số hình học. Năm 1770, Joseph-Louis Lagrange chứng minh mọi số nguyên dương là tổng của nhiều nhất bốn số chính phương. Pierre de Fermat từ thế kỷ 17 đã phỏng đoán điều tổng quát: mọi số là tổng của nhiều nhất k số k-giác. Augustin-Louis Cauchy chứng minh trọn vẹn năm 1813.
| Loại số | Mỗi số nguyên dương là tổng của tối đa | Người chứng minh |
|---|---|---|
| Số tam giác | 3 số | Gauss, 1796 |
| Số chính phương | 4 số | Lagrange, 1770 |
| Số ngũ giác (1, 5, 12, 22, 35…) | 5 số | Cauchy, 1813 (trường hợp tổng quát) |
Góc nhìn hôm nay: đếm bằng cách xếp hình
Sức mạnh của số hình học là biến phép cộng dài thành một hình nhìn được. Vài việc tự làm:
- Dùng nắp chai hoặc đồng xu xếp tam giác 1, 3, 6, 10 rồi ghép hai tam giác liền nhau thành hình vuông. Cảm nhận đẳng thức Tn−1 + Tn = n × n bằng tay.
- Tính trước số lần cụng ly ở bữa cơm gia đình: 6 người thì 15 lần, 12 người thì 66 lần. Chú ý nó tăng nhanh hơn số người nhiều.
- Thử viết vài số bất kỳ thành tổng ba số tam giác để tự kiểm định lý Eureka của Gauss.
Muốn đọc thêm, cuốn "The Book of Numbers" của John Conway và Richard Guy (1996) có cả một chương đẹp về số hình học, kèm hình minh hoạ.
Câu hỏi thường gặp
Số tam giác là gì?
Số tam giác là số chấm xếp được thành tam giác đều với các hàng 1, 2, 3, … chấm. Dãy số tam giác là 1, 3, 6, 10, 15, 21… và số thứ n bằng n(n + 1)/2. Ví dụ 10 ki bowling xếp thành số tam giác thứ tư.
Vì sao tổng các số lẻ liên tiếp là số chính phương?
Mỗi lần mở rộng hình vuông cạnh n thành cạnh n + 1, ta thêm một hình chữ L gồm 2n + 1 chấm, luôn là số lẻ. Vì vậy 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n × n. Ví dụ 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
Làm sao biết một số có phải số chính phương không?
Trước hết xem chữ số tận cùng: chỉ có 0, 1, 4, 5, 6, 9 mới có thể là số chính phương. Số chia 4 dư 2 hoặc 3 cũng bị loại. Nếu qua được các phép thử này, cần lấy căn bậc hai để kiểm tra chắc chắn.
Số nào vừa là số tam giác vừa là số chính phương?
Sau số 1, các số đó là 36, 1.225, 41.616, 1.413.721… Mỗi số lớn gấp khoảng 34 lần số trước. Có vô số số như vậy, liên quan đến phương trình Pell.
n người bắt tay nhau thì có bao nhiêu cái bắt tay?
Nếu mỗi cặp bắt tay đúng một lần thì có n(n − 1)/2 cái bắt tay, chính là số tam giác thứ n − 1. Ví dụ 10 người có 45 cái bắt tay, 20 người có 190 cái.
