A tăng kỳ, hằng hà sa số: những con số khổng lồ trong kinh Phật

Kinh Phật dùng những con số khổng lồ để nói về thời gian và thế giới vô lượng. Hằng hà sa là số cát sông Hằng, a tăng kỳ (asaṃkhyeya) nghĩa đen là "không đếm được", còn phẩm A Tăng Kỳ trong kinh Hoa Nghiêm dựng một chuỗi 123 tên số, mỗi số là bình phương số trước, kết thúc ở "bất khả thuyết bất khả thuyết chuyển", cỡ 10 mũ 3,7 × 10³⁷. Đó là những con số rất lớn, nhưng vẫn nhỏ hơn googolplex.

Hằng hà sa: lấy cát sông Hằng làm đơn vị

Sông Hằng (Gaṅgā) là con sông thiêng của tiểu lục địa Ấn Độ, có những bãi cát trải dài hàng trăm cây số. Khi muốn nói một thứ nhiều không kể xiết, kinh điển Phật giáo hay ví với "số cát sông Hằng", Hán dịch là 恒河沙, âm Hán Việt là hằng hà sa. Từ "hằng hà sa số" trong tiếng Việt đến từ đây.

Kinh Kim Cang có một đoạn đẩy hình ảnh này lên thêm một nấc: lấy số cát của một sông Hằng, rồi tưởng tượng có ngần ấy con sông Hằng, và hỏi số cát của tất cả những con sông đó có nhiều không. Nói theo toán học, đó là bình phương của một số đã rất lớn. Một bãi cát lớn có thể chứa cỡ 10¹⁵ tới 10¹⁸ hạt, bình phương lên là cỡ 10³⁰ tới 10³⁶. Kinh không đưa con số, nhưng cách lập luận "số đó nhân với chính nó" là một bước nhảy luỹ thừa rất rõ.

Trong bảng tên số mà người Nhật biên soạn thời Edo, hằng hà sa được gán giá trị cụ thể 10⁵². Đó là cách dùng về sau, khi một hình ảnh tu từ được đem vào làm tên đơn vị; trong kinh, nó không có giá trị cố định.

A tăng kỳ, na do tha, câu chi: tên số gốc Phạn

Nhiều tên số lớn trong Phật giáo Đông Á là phiên âm từ tiếng Phạn qua chữ Hán:

Hai dòng đầu đáng chú ý vì chúng vẫn đang được dùng hằng ngày. Ở Ấn Độ, 100.000 rupee đọc là "một lakh" và viết 1,00,000; mười triệu đọc là "một crore" và viết 1,00,00,000. Người Ấn nhóm chữ số theo kiểu ba chữ số đầu rồi từng cặp hai, khác cả kiểu nhóm ba của ta lẫn nhóm bốn của tiếng Trung. Báo chí Ấn Độ hiện nay vẫn ghi doanh thu phim theo crore.

Còn những tên lớn hơn thì giá trị thay đổi theo từng bộ kinh, luận. Các văn bản khác nhau gán cho a tăng kỳ hay na do tha những luỹ thừa của 10 khác hẳn nhau, nên khi gặp con số cụ thể nào được gán cho chúng, cần hỏi lại: theo văn bản nào?

Phẩm A Tăng Kỳ của kinh Hoa Nghiêm: thang bình phương

Ví dụ ấn tượng nhất về số lớn trong kinh Phật nằm ở phẩm A Tăng Kỳ (阿僧祇品) của kinh Hoa Nghiêm, bản dịch Hán 80 quyển do ngài Thật-xoa-nan-đà dịch thời Đường. Trong phẩm này, Đức Phật giảng cho Bồ Tát Tâm Vương một chuỗi tên số theo luật rất gọn:

• Một trăm lạc xoa là một câu chi: 100 × 10⁵ = 10⁷.
• Câu chi nhân câu chi là một a dữu đa: 10⁷ × 10⁷ = 10¹⁴.
• A dữu đa nhân a dữu đa là một na do tha: 10²⁸.
• Cứ thế, mỗi tên mới là bình phương tên trước, số mũ nhân đôi sau mỗi bậc.

Số mũ đi theo dãy 7, 14, 28, 56, 112, 224… tức 7 × 2⁰, 7 × 2¹, 7 × 2²… Chuỗi có 123 tên. Tên cuối cùng, "bất khả thuyết bất khả thuyết chuyển" (不可說不可說轉), vì vậy bằng 10 mũ (7 × 2¹²²).

Bạn có thể tự tính số mũ đó: 2¹⁰ = 1.024 ≈ 10³, nên 2¹²⁰ ≈ 10³⁶ (chính xác hơn là khoảng 1,33 × 10³⁶), nhân thêm 2² = 4 và nhân 7 được khoảng 3,7 × 10³⁷. Con số chính xác là 37.218.383.881.977.644.441.306.597.687.849.648.128. Vậy số cuối cùng của kinh là 1 theo sau khoảng 37 tỷ tỷ tỷ chữ số 0.

So với googol, googolplex và số Graham

Chỉ năm bậc bình phương là chuỗi Hoa Nghiêm đã qua googol. Nhưng số cuối cùng của nó vẫn nhỏ hơn googolplex rất xa, vì số mũ 3,7 × 10³⁷ nhỏ hơn số mũ 10¹⁰⁰ tới hơn sáu mươi bậc. Điều này cho thấy một bài học hay về tăng trưởng: bình phương lặp lại 122 lần nghe như rất khủng khiếp, nhưng nó chỉ làm số mũ nhân đôi 122 lần, tức là tăng theo hàm mũ ở tầng số mũ. Muốn chạm googolplex, cần khoảng 330 lần bình phương.

Kiếp: đo thời gian bằng ẩn dụ

Số lớn trong kinh Phật không chỉ để đếm vật, mà chủ yếu để đo thời gian. Đơn vị nổi tiếng nhất là kiếp (kalpa). Kinh Tương Ưng bộ (Saṃyutta Nikāya) trong văn hệ Pāli mô tả độ dài một kiếp bằng hai ví dụ:

• Núi đá: một ngọn núi đá liền khối, mỗi chiều một do tuần (yojana). Cứ một trăm năm có người lấy tấm vải mịn xứ Kāsi phất qua một lần. Ngọn núi sẽ mòn hết trước khi một kiếp qua đi.
• Hạt cải: một thành bằng sắt, mỗi chiều một do tuần, chứa đầy hạt cải. Cứ một trăm năm lấy ra một hạt. Thành sẽ trống trước khi một kiếp hết.

Thử tính phần hạt cải cho vui, với những giả định thô. Một do tuần thường được ước khoảng 12 tới 15 km, lấy 13 km. Thể tích thành: 13.000³ ≈ 2,2 × 10¹² mét khối. Hạt cải đường kính khoảng 1,5 mm; mỗi mét khối chứa cỡ 3 × 10⁸ hạt nếu tính cả khe hở. Tổng số hạt khoảng 6,6 × 10²⁰. Lấy mỗi trăm năm một hạt: 6,6 × 10²² năm. Tuổi vũ trụ khoảng 1,38 × 10¹⁰ năm, vậy thời gian vét thành gấp tuổi vũ trụ chừng 5 nghìn tỷ lần. Và kinh nói kiếp còn dài hơn thế.

Cần hiểu đúng tinh thần: đây là ẩn dụ dạy về sự dài lâu của luân hồi, không phải số đo thiên văn. Phép tính trên chỉ để cảm được kích cỡ mà người xưa muốn gợi ra.

Cuộc thi đếm số của thái tử Tất-đạt-đa

Kinh Phổ Diệu (Lalitavistara), một bản kể về cuộc đời Đức Phật, có đoạn thái tử trẻ tuổi thi tài với nhà toán học Arjuna. Thái tử kể một chuỗi tên số nhảy theo bội trăm, đi tới tên gọi tallakṣaṇa, thường được hiểu là 10⁵³, rồi tiếp tục những chuỗi còn lớn hơn, kể cả phép tính số hạt vi trần trong một do tuần. Đây là văn chương tôn giáo, không phải ghi chép lịch sử, nhưng nó cho thấy văn hoá Ấn Độ cổ say mê số lớn đến mức nào, và giải thích vì sao hệ ghi số theo vị trí cùng chữ số 0 lại hình thành ở chính vùng đất này.

Góc nhìn hôm nay: đọc kinh với con mắt người làm toán

Đọc những đoạn này hôm nay có thể mang về hai điều. Một là sự phân biệt giữa số tu từ và số đo: hằng hà sa hay kiếp là hình ảnh, không nên gán cho chúng một con số rồi tranh cãi đúng sai. Hai là óc toán học rất thật trong cách dựng thang: chuỗi bình phương của kinh Hoa Nghiêm là một ví dụ sớm và rõ ràng về luỹ thừa lặp, một ý tưởng mà toán học phương Tây phải tới thời hiện đại mới viết ra thành ký hiệu.

Ai muốn tìm hiểu thêm có thể tìm bản dịch tiếng Việt kinh Hoa Nghiêm của Hoà thượng Thích Trí Tịnh, trong đó có phẩm A Tăng Kỳ; và các bản dịch kinh Tương Ưng bộ của Hoà thượng Thích Minh Châu cho hai ví dụ về kiếp. Đọc chậm, cầm theo giấy bút, thử tự tính số mũ ở từng bậc là cách đọc rất thú vị.