Quả bóng nảy thấp dần vì mỗi lần chạm đất nó mất một tỉ lệ gần như cố định của năng lượng: bóng bàn mất khoảng 20%, bóng tennis mất gần một nửa. Độ cao các lần nảy vì thế tạo thành một cấp số nhân giảm dần, và theo phép tính lý tưởng, tổng quãng đường lẫn tổng thời gian nảy đều hữu hạn: quả bóng bàn thả từ 1 m nảy "vô số lần" mà vẫn dừng sau khoảng 8 giây.
Hệ số phục hồi: con số quyết định độ nảy
Các nhà vật lý mô tả độ nảy bằng hệ số phục hồi, ký hiệu e: tỉ số giữa tốc độ bật lên và tốc độ lúc chạm đất. e = 1 là va chạm hoàn toàn đàn hồi, bóng nảy lại đúng độ cao cũ; e = 0 là bóng dính chặt như cục đất sét.
Độ cao tỉ lệ với bình phương tốc độ, nên tỉ số độ cao giữa hai lần nảy liên tiếp là e². Phần năng lượng mất đi mỗi lần là 1 − e². Năng lượng ấy biến thành nhiệt trong vỏ bóng và mặt sàn, thành tiếng "bộp", thành dao động nhỏ của sàn.
Điều làm hiện tượng này thuộc họ "giảm dần" là tỉ lệ mất đi gần như cố định với phần đang còn. Lần nảy thứ nhất mất 20% năng lượng ban đầu, lần thứ hai mất 20% của phần còn lại, cứ thế. Độ cao sau n lần nảy là h₀ × e²ⁿ, đúng dạng hàm mũ như chu kỳ bán rã, chỉ khác là "thời gian" ở đây đếm bằng số lần nảy.
Luật thể thao quy định độ nảy
Vì độ nảy quyết định lối đánh, các liên đoàn thể thao đặt chuẩn bằng một phép thử thả rơi. Số liệu dưới đây là các quy định phổ biến tính tới năm 2026; chi tiết đầy đủ nằm trong văn bản kỹ thuật của từng liên đoàn.
| Loại bóng | Thả từ | Phải nảy lên | Tỉ số độ cao e² (khoảng) | Năng lượng mất mỗi lần |
|---|---|---|---|---|
| Bóng tennis (ITF) | 254 cm (100 inch) xuống nền bê tông | 135–147 cm | 0,53–0,58 | khoảng 42–47% |
| Bóng bàn (ITTF) | 30,5 cm xuống khối thép | khoảng 24–26 cm | khoảng 0,79–0,85 | khoảng 15–21% |
| Bóng rổ (FIBA) | khoảng 1,8 m (tính từ đáy bóng) | 1,2–1,4 m (tính tới đỉnh bóng) | khoảng 0,5–0,65 nếu quy về cùng mốc đáy bóng | khoảng 35–50% |
Từ e² suy ra e: bóng tennis khoảng 0,73–0,76, bóng bàn khoảng 0,89–0,92. Chênh lệch ấy giải thích cảm giác khác hẳn nhau: bóng bàn "lốp cốp" nảy rất lâu trên mặt bàn, bóng tennis thả xuống sân chỉ nảy vài lần đã lăn đi.
Tính thử với quả bóng bàn thả từ 1 m
Lấy e² = 0,8 (gần chuẩn ITTF), tức e ≈ 0,894, và bỏ qua sức cản không khí.
| Lần nảy | Độ cao đạt tới |
|---|---|
| Thả | 100 cm |
| 1 | 80 cm |
| 2 | 64 cm |
| 3 | 51 cm |
| 5 | 33 cm |
| 10 | khoảng 11 cm |
| 20 | khoảng 1,2 cm |
| 30 | khoảng 1 mm |
Tổng quãng đường: 9 mét
Quả bóng rơi 1 m, rồi mỗi lần nảy đi lên và đi xuống cùng một độ cao. Tổng quãng đường là 1 + 2 × (0,8 + 0,64 + 0,512 + …). Tổng cấp số nhân trong ngoặc bằng 0,8 / (1 − 0,8) = 4. Vậy tổng là 1 + 2 × 4 = 9 m. Công thức chung: h₀ × (1 + e²) / (1 − e²).
Tổng thời gian: khoảng 8 giây
Rơi 1 m mất t₀ = √(2h/g) ≈ 0,45 giây. Thời gian bay của mỗi lần nảy tỉ lệ với tốc độ bật lên, nên giảm theo tỉ số e (chứ không phải e²). Cộng tất cả lại được t₀ × (1 + e) / (1 − e) ≈ 0,45 × 17,9 ≈ 8,1 giây. Vô số lần nảy nhưng thời gian hữu hạn, giống hệt cấu trúc của nghịch lý Zeno. Ngoài đời, quả bóng ngừng nảy rõ ràng sớm hơn một chút: ở tốc độ rất nhỏ, e không còn cố định, bóng chuyển sang rung và lăn.
Thí nghiệm bằng điện thoại: nghe ra hệ số phục hồi
Tiếng "tạch… tạch… tạch, tạch, tạch-tạch-tạch" của quả bóng bàn rơi xuống mặt bàn dồn dập dần chính là chuỗi khoảng thời gian giảm theo cấp số nhân. Từ đó đo được e mà không cần thước:
- Mở ứng dụng ghi âm có hiển thị dạng sóng (nhiều ứng dụng miễn phí có).
- Thả quả bóng bàn từ khoảng 50 cm xuống mặt bàn gỗ hay nền gạch, ghi âm.
- Phóng to dạng sóng, đọc thời điểm của 5–6 tiếng chạm đầu.
- Tính khoảng cách giữa các tiếng: Δt₁, Δt₂, Δt₃… Tỉ số Δt₂/Δt₁, Δt₃/Δt₂ chính là e.
Ví dụ đọc được 0,57 giây, 0,51 giây, 0,455 giây: các tỉ số đều khoảng 0,89. Thả lên mặt khác nhau (bàn gỗ, nền gạch, thảm, nệm) sẽ thấy e khác hẳn. Thả bóng tennis, bóng rổ, bóng cao su đặc của trẻ con để so sánh. Đây là một phép đo vật lý chính xác tới bất ngờ, vì đồng hồ của điện thoại đo được phần nghìn giây.
Cái gì làm bóng nảy tốt hay kém
| Yếu tố | Ảnh hưởng |
|---|---|
| Áp suất khí bên trong | Bóng căng nảy cao, bóng xẹp nảy thấp; bóng rổ, bóng đá phải bơm đúng áp suất ghi trên bóng |
| Nhiệt độ | Cao su ấm mềm và đàn hồi hơn; bóng lạnh nảy kém |
| Mặt sàn | Sàn cứng, nặng (bê tông, thép) trả lại nhiều năng lượng; thảm, cỏ, cát hút năng lượng |
| Tốc độ va chạm | Va chạm càng mạnh, bóng biến dạng càng nhiều, e thường giảm nhẹ |
| Tuổi của bóng | Khí rò dần, cao su lão hoá; bóng cũ nảy thấp hơn |
Bóng squash phải được "làm ấm"
Bóng squash thi đấu (loại hai chấm vàng) gần như chết khi còn nguội: thả xuống sàn chỉ nảy lên một chút. Đầu trận, hai đấu thủ đánh khởi động vài phút để bóng nóng lên, cao su mềm ra và khí bên trong giãn nở, bóng mới nảy đủ để chơi. Đây là ví dụ rõ nhất về việc e phụ thuộc nhiệt độ.
Bóng tennis "chết" dần sau khi mở hộp
Phần lớn bóng tennis thi đấu được bơm khí áp suất cao hơn khí quyển và đóng trong hộp kín có áp suất. Mở hộp ra, khí bắt đầu rò qua vỏ cao su. Sau vài tuần sử dụng, bóng mềm và nảy thấp rõ rệt. Đây lại là một kiểu giảm dần khác: áp suất dư bên trong rò ra nhanh lúc đầu rồi chậm dần, khi chênh lệch áp suất nhỏ lại. Các giải lớn thay bóng theo số ván đã đấu, thường là sau bảy ván đầu rồi cứ chín ván một lần, để giữ độ nảy đồng đều.
Góc nhìn hôm nay: một chuỗi số dễ thấy nhất
Trong họ hàng các hiện tượng giảm dần, quả bóng nảy là thứ dễ thấy nhất bằng mắt thường: chu kỳ bán rã thì cần máy đo, ly cà phê nguội cần nhiệt kế, còn quả bóng thì chỉ cần nghe. Nó cũng cho thấy giới hạn của mô hình: tỉ lệ cố định là phép gần đúng tốt trong phần lớn quá trình, và sai ở hai đầu, khi va chạm quá mạnh hoặc quá yếu.
Muốn đọc thêm, các giáo trình vật lý đại cương có chương va chạm với khái niệm hệ số phục hồi; luật thi đấu và văn bản kỹ thuật về bóng của ITF, ITTF, FIBA đều công khai, ghi rõ cách thử. Đem một quả bóng bàn và chiếc điện thoại ra bàn, mười phút là có số liệu của riêng mình.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao quả bóng nảy thấp dần?
Vì mỗi lần chạm đất, một phần năng lượng biến thành nhiệt, âm thanh và dao động của sàn. Phần mất đi gần như là một tỉ lệ cố định của năng lượng đang có, nên độ cao giảm theo cấp số nhân qua từng lần nảy.
Hệ số phục hồi là gì?
Là tỉ số giữa tốc độ bật lên và tốc độ chạm đất của vật, ký hiệu e, nằm trong khoảng 0 tới 1. Tỉ số độ cao giữa hai lần nảy liên tiếp bằng e², và phần năng lượng mất mỗi lần là 1 − e².
Quả bóng nảy bao nhiêu lần thì dừng?
Theo mô hình lý tưởng, bóng nảy vô số lần nhưng tổng thời gian hữu hạn, bằng t₀ × (1 + e)/(1 − e). Quả bóng bàn thả từ 1 m dừng sau khoảng 8 giây. Thực tế bóng ngừng sớm hơn vì ở tốc độ nhỏ nó chuyển sang rung và lăn.
Bóng tennis tiêu chuẩn nảy cao bao nhiêu?
Theo quy định của ITF, bóng thả từ 254 cm xuống nền bê tông phải nảy lên khoảng 135–147 cm, tức giữ lại hơn một nửa độ cao. Bóng cũ hoặc đã rò khí nảy thấp hơn mức này.
Vì sao bóng squash phải đánh khởi động trước khi đấu?
Vì bóng squash thi đấu nảy rất kém khi nguội. Đánh khởi động làm bóng nóng lên, cao su đàn hồi hơn và khí bên trong giãn nở, nhờ vậy bóng đạt độ nảy cần thiết.
